Номер 1227 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Докажите, что сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не может быть квадратом натурального числа.

Краткое решение

Пусть пять последовательных натуральных чисел:

$(n - 2), (n - 1), n, (n + 1), (n + 2)$ .

(n - 2)^{2} + (n - 1)^{2} + n^{2} + (n + 1)^{2} + (n + 2)^{2} =

= (n^{2} - 4 n + 4) + (n^{2} - 2 n + 1) + n^{2} + (n^{2} + 2 n + 1) + (n^{2} + 4 n + 4) =

= 5 n^{2} + 10 = 5 (n^{2} + 2)

Предположим, что $5 (n^{2} + 2) = k^{2}$ . Тогда $k^{2}$ делится на 5, а значит и $k$ делится на 5. Пусть $k = 5 t$ . Тогда:

25 t^{2} = 5 (n^{2} + 2) / : 5

5 t^{2} = n^{2} + 2

Проанализируем остатки $n^{2} + 2$ при делении на 5:

Если $n$ делится на 5, то $n^{2} + 2$ при делении на 5 даёт в остатке 2.
Если $n$ при делении на 5 даёт в остатке 1 или 4, то $n^{2}$ при делении на 5 даёт в остатке 1, и тогда $n^{2} + 2$ даёт остаток 3.
Если $n$ при делении на 5 даёт в остатке 2 или 3, то $n^{2}$ даёт в остатке 4, и тогда $n^{2} + 2$ даёт остаток 1, так как $4 + 2 = 6$ и $6 : 5 = 1$ (ост. 1).

$n^{2} + 2$ никогда не делится на 5, поэтому равенство $5 t^{2} = n^{2} + 2$ невозможно. Следовательно, исходное предположение ложно.

Что и требовалось доказать.

Подробное решение

📚 Теория: Квадраты и делимость

Для доказательства невозможности существования полного квадрата часто используется метод анализа остатков от деления.

Если число $A$ делится на простое число $p$ , но является полным квадратом, то оно должно делиться и на $p^{2}$ .

Запишем пять последовательных натуральных чисел, используя симметричное обозначение относительно среднего числа $n$ :

(n - 2), (n - 1), n, (n + 1), (n + 2)

1. Преобразование суммы квадратов

Найдем сумму квадратов этих чисел:

S = (n - 2)^{2} + (n - 1)^{2} + n^{2} + (n + 1)^{2} + (n + 2)^{2}

После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых получаем выражение:

S = 5 n^{2} + 10 = 5 (n^{2} + 2)

2. Доказательство от противного

Допустим, что эта сумма равна некоторому квадрату $k^{2}$ . Тогда выражение $5 (n^{2} + 2)$ должно делиться на 25. Это возможно только в том случае, если множитель $(n^{2} + 2)$ делится на 5.

Однако анализ остатков квадратов натуральных чисел при делении на 5 показывает:

Квадрат числа может давать только остатки 0, 1 или 4 при делении на 5.
Соответственно, выражение $n^{2} + 2$ может иметь остатки 2 (0+2), 3 (1+2) или 1 (4+2).
Ни один из этих остатков не равен 0, значит $n^{2} + 2$ не кратно 5.

Следовательно, сумма квадратов пяти последовательных чисел не может быть квадратом натурального числа. Доказано.