Номер 1225 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Докажите, что $p^{2} - 1$ кратно 24, если $p$ — простое число, большее 3.

Краткое решение

p^{2} - 1 = (p - 1) (p + 1)

1) $p$ — простое, $p > 3 \Rightarrow p$ — нечётное.

2) $p - 1$ и $p + 1$ — последовательные чётные числа. Одно делится на 2, другое на 4.

(p - 1) (p + 1) делится на 2 \cdot 4 = 8

3) Среди $p - 1, p, p + 1$ одно делится на 3. $p$ не делится на 3, значит $(p - 1) (p + 1)$ делится на 3.

8 \cdot 3 = 24

Доказано.

Подробное решение

📚 Теория: Свойства простых чисел

Любое простое число $p > 2$ является нечётным.
Среди трёх последовательных целых чисел одно обязательно делится на 3.
Произведение двух последовательных чётных чисел всегда делится на 8.

Для доказательства используем формулу разности квадратов и свойства делимости чисел.

1. Разложение на множители

p^{2} - 1 = (p - 1) (p + 1)

2. Доказательство делимости на 8

Так как $p$ — простое число и $p > 3$ , оно нечётно. Следовательно, числа $p - 1$ и $p + 1$ являются последовательными чётными числами. Одно из них обязательно делится на 2, а другое — на 4. Их произведение делится на $2 \cdot 4 = 8$ .

3. Доказательство делимости на 3

Рассмотрим три последовательных целых числа: $p - 1$ , $p$ , $p + 1$ . Одно из них должно делиться на 3. Поскольку $p$ — простое число большее 3, оно на 3 не делится. Значит, на 3 делится либо $p - 1$ , либо $p + 1$ .

4. Итоговый вывод

Выражение $p^{2} - 1$ делится на 8 и на 3. Поскольку числа 8 и 3 взаимно простые, произведение $(p - 1) (p + 1)$ делится на $8 \cdot 3 = 24$ . Доказано.

💡 Похожие задачи

Номер 1224