📚 Теория: Замена переменной в многочлене
Для перехода к новой переменной y необходимо выразить старую переменную x через y и подставить полученное выражение во все члены многочлена. Далее используются формулы сокращенного умножения:
- Куб разности: (a−b)3=a3−3a2b+3ab2−b3
- Квадрат разности: (a−b)2=a2−2ab+b2
Чтобы выполнить преобразование многочлена, воспользуемся методом замены переменной.
1. Определение зависимости
Из условия y=x+1 следует, что:
2. Подстановка в выражение
Заменим каждый x в многочлене на (y−1):
P(y)=3(y−1)3+7(y−1)2+9(y−1)+6 3. Раскрытие скобок и упрощение
Раскроем степени, используя формулы сокращенного умножения:
- 3(y−1)3=3(y3−3y2+3y−1)=3y3−9y2+9y−3
- 7(y−1)2=7(y2−2y+1)=7y2−14y+7
- 9(y−1)+6=9y−9+6=9y−3
Сложим полученные результаты:
3y3+(−9+7)y2+(9−14+9)y+(−3+7−3)= =3y3−2y2+4y+1 4. Результат
Мы получили многочлен вида ay3+by2+cy+d, где:
- a=3
- b=−2
- c=4
- d=1
