Номер 1241 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Путь от A до B идёт 3 км в гору, 6 км под гору и 12 км по ровному месту. Этот путь мотоциклист проделал за 1 ч 7 мин, а обратный путь — за 1 ч 16 мин. Найдите скорость мотоциклиста в гору и под гору, если на ровном месте его скорость 18 км/ч.

Краткое решение

Пусть скорость в гору равна $x$ (км/ч), скорость под гору — $y$ (км/ч), а по ровному — 18 км/ч.

1) $\frac{12}{18} (ч) = \frac{2}{3} (ч) = \frac{40}{60} (ч) = 40 \text{ (мин)}$ — время в пути по ровному месту.

2) 1 ч 7 мин — 40 мин = 67 мин — 40 мин = 27 мин = $\frac{27}{60} ч = \frac{9}{20}$ ч — время в пути в гору и под гору из A в B.

3) 1 ч 16 мин — 40 мин = 76 мин — 40 мин = 36 мин = $\frac{36}{60} ч = \frac{3}{5}$ ч — время в пути в гору и под гору из B в A.

4) Составим систему уравнений:

\begin{cases} \frac{3}{x} + \frac{6}{y} = \frac{9}{20} \\ \frac{6}{x} + \frac{3}{y} = \frac{3}{5} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 60y + 120x = 9xy \\ 30y + 15x = 3xy \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 20y + 40x = 3xy \\ 10y + 5x = xy \\ \end{cases}

\begin{cases} 20y + 40x = 3xy \\ -20y - 10x = -2xy \end{cases} \Rightarrow 30x = xy \Rightarrow y = 30

10 \cdot 30 + 5x = 30x \Rightarrow 300 = 25x \Rightarrow x = 12

Ответ: скорость мотоциклиста в гору 12 км/ч, под гору — 30 км/ч.

Подробное решение

📚 Теория: Задачи на движение и системы уравнений

Для решения задач на движение в гору и под гору важно учитывать, что при обратном пути роли участков меняются: подъем становится спуском, а спуск — подъемом.

Системы с переменными в знаменателе часто решаются приведением к общему знаменателю или методом сложения после соответствующих преобразований.

Выполним детальный разбор задачи, опираясь на расчеты времени для каждого участка.

1. Исключение времени на ровном участке

Поскольку скорость на ровном месте постоянна (18 км/ч), мотоциклист тратит на 12 км ровно 40 минут в обоих направлениях.

t = \frac{12}{18} = \frac{2}{3} \text{ ч} = 40 \text{ мин}

2. Учет изменения профиля дороги при обратном пути

При движении из A в B подъем составляет 3 км, спуск — 6 км. На обратном пути из B в A 6-километровый спуск становится подъемом, а 3-километровый подъем — спуском.

3. Формирование математической модели

Вычтя 40 минут из общего времени, получаем время на неровных участках: 27 минут для прямого пути и 36 минут для обратного. Переведя время в часы, получаем систему:

\begin{cases} \frac{3}{x} + \frac{6}{y} = \frac{9}{20} \\ \frac{6}{x} + \frac{3}{y} = \frac{3}{5} \end{cases}

4. Решение и интерпретация

После упрощения системы и нахождения переменных, получаем значения скоростей:

Скорость в гору ( $x$ ): 12 км/ч.
Скорость под гору ( $y$ ): 30 км/ч.

💡 Похожие задачи

Номер 1242