Номер 1244 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Из города $A$ в город $B$ в 8 ч 50 мин вышли два автобуса. В то же время из города $B$ в город $A$ выехал велосипедист. Один автобус он встретил в 10 ч 10 мин, а другой — в 10 ч 50 мин. Расстояние между городами 100 км. Найдите скорость велосипедиста, если скорость одного автобуса в $1 \frac{5}{7}$ раза больше скорости другого.

Краткое решение

Пусть $x$ км/ч — скорость первого автобуса, тогда скорость второго — $1 \frac{5}{7}x = \frac{12}{7}x$ км/ч. Скорость велосипедиста — $y$ км/ч.

1) 10 ч 10 мин — 8 ч 50 мин = 1 ч 20 мин = $\frac{4}{3}$ ч — время до встречи со вторым автобусом.

2) 10 ч 50 мин — 8 ч 50 мин = 2 ч — время до встречи с первым автобусом.

3) Составим систему уравнений:

\begin{cases} \frac{4}{3}y + \frac{4}{3} \cdot \frac{12}{7}x = 100 \\ 2y + 2x = 100 \quad / : 2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \frac{4}{3}y + \frac{16}{7}x = 100 \quad / \times 21 \\ y + x = 50 \end{cases}

\begin{cases} 7 \cdot 4y + 3 \cdot 16x = 2100 \quad / : 4 \\ y + x = 50 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 7(50 - x) + 12x = 525 \\ y = 50 - x \end{cases}

$350 - 7x + 12x = 525 \Rightarrow 5x = 175 \Rightarrow x = 35$ .

$y = 50 - 35 = 15$ .

Ответ: скорость велосипедиста равна $y = 15$ км/ч.

Подробное решение

📚 Теория: Скорость сближения

При движении объектов навстречу друг другу их общая скорость (скорость сближения) равна сумме их собственных скоростей.

Если всё расстояние известно, уравнение составляется по формуле: $(v_1 + v_2) \cdot t = S$ , где $t$ — время до встречи.

Проведем детальный анализ движения всех участников, учитывая одновременный старт в 8:50.

1. Определение времени движения

Поскольку все транспортные средства выехали одновременно, время в пути до каждой встречи рассчитывается как разность текущего времени и времени старта:

Встреча с быстрым автобусом: 10:10 – 8:50 = 1 ч 20 мин = $80/60 = 4/3$ часа.
Встреча с медленным автобусом: 10:50 – 8:50 = 2 часа.

2. Составление математической модели

Пусть $x$ — скорость медленного автобуса, тогда скорость быстрого — $12/7x$ . Велосипедист движется навстречу со скоростью $y$ .

Для каждой встречи сумма пройденных путей равна 100 км:

\begin{cases} (\frac{12}{7}x + y) \cdot \frac{4}{3} = 100 \\ (x + y) \cdot 2 = 100 \end{cases}

3. Решение и вывод

После упрощения системы и подстановки значения $y = 50 - x$ в первое уравнение, находим:

Скорость одного автобуса: 35 км/ч.
Скорость велосипедиста: 15 км/ч.

Итоговая скорость велосипедиста — 15 км/ч.

💡 Похожие задачи

Номер 1245