Номер 1245 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Всадник и пешеход одновременно отправились из пункта A в пункт B. Всадник, прибыв в пункт B на 50 мин раньше пешехода, возвратился обратно в пункт A. На обратном пути он встретился с пешеходом в двух километрах от пункта B. На весь путь всадник затратил 1 ч 40 мин. Найдите расстояние от A до B и скорость всадника и пешехода.

Краткое решение

Пусть $S$ — расстояние (км), $v_в$ и $v_п$ — скорости (км/ч).

1) Время всадника $A \to B \to A$ : 1 ч 40 мин = $\frac{5}{3}$ ч. Тогда путь $A \to B$ занял $\frac{5}{6}$ ч.

2) Пешеход прибыл в B на 50 мин позже: $\frac{5}{6} + \frac{5}{6} = \frac{5}{3}$ ч (100 мин).

3) Скорости через $S$ : $v_в = S : \frac{5}{6} = 1,2S$ , $v_п = S : \frac{5}{3} = 0,6S$ .

4) До встречи всадник прошел $S+2$ , пешеход $S-2$ . Время встречи одинаково:

\frac{S+2}{1,2S} = \frac{S-2}{0,6S} \Rightarrow S+2 = 2(S-2)

$S + 2 = 2S - 4 \Rightarrow S = 6$ (км).

5) $v_в = 1,2 \cdot 6 = 7,2$ км/ч, $v_п = 0,6 \cdot 6 = 3,6$ км/ч.

Ответ: 6 км; 7,2 км/ч; 3,6 км/ч.

Подробное решение

📚 Теория: Анализ времени в задачах на движение

Если объект движется с постоянной скоростью «туда и обратно», то время в один конец равно половине общего времени. Важно также учитывать разницу во времени прибытия для определения скорости второго участника.

Для решения задачи проанализируем временные интервалы движения обоих участников.

1. Время движения всадника

Всадник проехал путь от A до B и вернулся обратно в A за 1 ч 40 мин (100 мин). Так как скорость всадника постоянна, путь в одну сторону занял:

100 : 2 = 50 \text{ мин} = \frac{5}{6} \text{ ч.}

2. Время движения пешехода

Всадник прибыл в пункт B на 50 минут раньше пешехода. Значит, пешеход проходит расстояние $S$ за:

50 + 50 = 100 \text{ мин} = \frac{5}{3} \text{ ч.}

3. Составление уравнения встречи

Выразим скорости участников через расстояние $S$ :

Скорость всадника: $v_в = \frac{S}{5/6} = 1,2S$ км/ч.
Скорость пешехода: $v_п = \frac{S}{5/3} = 0,6S$ км/ч.

В момент встречи всадник проехал $S$ км до B и еще 2 км обратно, итого $S + 2$ км. Пешеход за это же время не дошел до B 2 км, пройдя $S - 2$ км.

\frac{S + 2}{1,2S} = \frac{S - 2}{0,6S}

4. Расчет итоговых величин

Решая уравнение, получаем $S = 6$ км. Теперь вычислим скорости:

Всадник: $1,2 \cdot 6 = 7,2$ км/ч.
Пешеход: $0,6 \cdot 6 = 3,6$ км/ч.

💡 Похожие задачи

Номер 1246