Номер 212 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Верно ли, что для любых чисел $a$ и $b$ :

а) $|a + b| = |a| + |b|$ ;
б) $|ab| = |a| \cdot |b|$ ?

Краткое решение

а) Нет, неверно.

Это равенство выполняется только если числа имеют одинаковый знак (или одно из них 0). Если знаки разные, то модуль суммы меньше суммы модулей.

Пример: $a=5, b=-5 \Rightarrow |5-5|=0$ , а $|5|+|-5|=10$ .

б) Да, верно.

Модуль произведения равен произведению модулей.

Ответ: а) неверно; б) верно.

Подробное решение

📚 Теория: Свойства модуля

1. Неравенство треугольника: $|a + b| \le |a| + |b|$ . Равенство достигается только при $ab \ge 0$ .
2. Модуль произведения: $|ab| = |a| \cdot |b|$ . Это свойство выполняется для любых действительных чисел.

Пункт а)

Проверим равенство $|a + b| = |a| + |b|$ .

Возьмем числа с разными знаками. Пусть $a = 3$ , $b = -2$ .

Левая часть:

|3 + (-2)| = |1| = 1

Правая часть:

|3| + |-2| = 3 + 2 = 5

Так как $1 \ne 5$ , утверждение не является верным для любых чисел.

Вывод: Неверно.

Пункт б)

Проверим равенство $|ab| = |a| \cdot |b|$ .

Модуль числа — это расстояние от начала координат до точки. При перемножении чисел их абсолютные величины перемножаются, а знак результата зависит от знаков множителей. Модуль "убирает" знак, поэтому равенство справедливо всегда.

Пример: $a = -3, b = 4$ .

|(-3) \cdot 4| = |-12| = 12

|-3| \cdot |4| = 3 \cdot 4 = 12

Вывод: Верно.