Номер 615 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Для доказательства того, что разность многочленов всегда положительна, выполним следующие действия:

1. Составим разность выражений:
   Запишем оба многочлена и поставим между ними знак минус, заключив второй многочлен в скобки:
   $(0,7x^4 + 0,2x^2 - 5) - (-0,3x^4 + \frac{1}{5}x^2 - 8)$
2. Раскроем скобки:
   Заметим, что дробь $\frac{1}{5}$ равна $0,2$. При раскрытии скобок, перед которыми стоит знак «минус», знаки всех слагаемых внутри меняются на противоположные:
   $0,7x^4 + 0,2x^2 - 5 + 0,3x^4 - 0,2x^2 + 8$
3. Приведем подобные слагаемые:
   • Слагаемые с $x^4$: $0,7x^4 + 0,3x^4 = 1,0x^4 = x^4$
   • Слагаемые с $x^2$: $0,2x^2 - 0,2x^2 = 0$ (взаимно уничтожаются)
   • Свободные числа: $-5 + 8 = 3$
   В итоге получаем упрощенное выражение: $x^4 + 3$.
4. Обоснование знака:
   Так как переменная $x$ возведена в четвертую (четную) степень, то значение $x^4$ не может быть отрицательным при любом $x$, то есть $x^4 \ge 0$.
   Прибавляя к неотрицательному числу $3$, мы получаем:
   $x^4 + 3 \ge 3$
   Поскольку $3$ — положительное число, то и всё выражение $x^4 + 3$ всегда принимает только положительные значения.

Что и требовалось доказать.