Известно, что при некоторых натуральных значениях n значение выражения n3+n кратно 30. Будет ли кратно 30 при тех же значениях n значение выражения:
а) n3+31n;
б) n3−29n?
Краткое решение
а)
n3+31n=(n3+n)+30n (n3+n)⋮30 и
30n⋮30⇒(n3+31n)⋮30 б)
n3−29n=(n3+n)−30n (n3+n)⋮30 и
30n⋮30⇒(n3−29n)⋮30 Ответ: а) да; б) да.
Подробное решение
📚 Теория: Свойства делимости
Если каждое слагаемое суммы делится на некоторое число, то и вся сумма делится на это число. Аналогично для разности: если уменьшаемое и вычитаемое делятся на число, то и разность делится на него.
По условию задачи нам дано, что n3+n делится на 30 без остатка.
Решение пункта а)
Представим выражение n3+31n в виде суммы, выделив известное нам выражение:
n3+31n=n3+n+30n=(n3+n)+30nПроанализируем слагаемые:
- Первое слагаемое (n3+n) кратно 30 по условию.
- Второе слагаемое 30n кратно 30, так как содержит множитель 30 (при натуральном n).
Так как оба слагаемых кратны 30, то и их сумма n3+31n также кратна 30.
Решение пункта б)
Аналогично преобразуем выражение n3−29n:
n3−29n=n3+n−30n=(n3+n)−30nПроанализируем части разности:
- Уменьшаемое (n3+n) кратно 30 по условию.
- Вычитаемое 30n кратно 30.
Разность двух чисел, кратных 30, также будет кратна 30. Следовательно, выражение n3−29n делится на 30.
