(Для работы в парах.)
Докажите, что сумма:
1) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.
2) Проверьте друг у друга правильность выполнения преобразований.
3) Выскажите аналогичное предположение о сумме пяти последовательных натуральных чисел и проверьте, верно ли оно.
а) Пусть — первое натуральное число,
— второе натуральное число,
— третье натуральное число.
Что и требовалось доказать.
б) Пусть — первое натуральное число,
— второе натуральное число,
— третье натуральное число,
— четвёртое натуральное число.
Что и требовалось доказать.
3) Пусть — первое натуральное число,
— второе натуральное число,
— третье натуральное число,
— четвёртое натуральное число,
— пятое натуральное число.
Вывод: сумма пяти последовательных натуральных чисел кратна .
Выражение кратно числу , если его можно представить в виде произведения, где один из множителей равен . Например, всегда делится на при любом целом .
Для доказательства утверждений представим последовательные числа в виде алгебраических выражений:
Сумма трёх чисел: . Мы можем вынести общий множитель за скобки: . Наличие множителя доказывает кратность всей суммы числу .
Сумма четырёх чисел: . Это выражение можно записать как . Мы видим, что при делении на всегда получается остаток , следовательно, сумма не кратна .
По аналогии с пунктом «а», предположим, что сумма последовательных чисел кратна . При упрощении выражения получаем . Так как является множителем, наше предположение верно.
