Докажите, что значение выражения:
а) 165+164 кратно 17;
в) 365−69 кратно 30;
б) 389−388 кратно 37;
г) 518−258 кратно 120.
Краткое решение
а)165+164=164(16+1)=164⋅17(кратно 17); б)389−388=388(38−1)=388⋅37(кратно 37); в)365−69=(62)5−69=610−69=69(6−1)=69⋅5=68⋅6⋅5=68⋅30(кратно 30); г)518−258=518−(52)8=518−516=516(52−1)=516(25−1)=516⋅24=515⋅5⋅24=515⋅120(кратно 120). Подробное решение
📚 Теория: Доказательство кратности
Чтобы доказать, что выражение кратно некоторому числу n, нужно представить это выражение в виде произведения, один из множителей которого делится на n или равен ему. Основной прием здесь — вынесение за скобки степени с наименьшим показателем.
Для доказательства используем метод вынесения общего множителя и свойства степеней:
Разбор пункта в)
Нужно доказать кратность 30 для 365−69. Сначала приведем основания к общему виду:
365=(62)5=610 Теперь вынесем 69 за скобки:
610−69=69(6−1)=69⋅5 Чтобы получить число 30, «заберем» одну шестерку из степени:
68⋅6⋅5=68⋅30 Так как один из множителей равен 30, всё произведение делится на 30.
Разбор пункта г)
Для 518−258:
518−(52)8=518−516=516(52−1)=516⋅24 Разложим 516 на 515⋅5:
515⋅5⋅24=515⋅120 Результат кратен 120, что и требовалось доказать.
