Номер 679 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Докажите, что значение выражения:

а) $16^5 + 16^4$ кратно $17$ ;

в) $36^5 - 6^9$ кратно $30$ ;

б) $38^9 - 38^8$ кратно $37$ ;

г) $5^{18} - 25^8$ кратно $120$ .

Краткое решение

а) 16^5 + 16^4 = 16^4(16 + 1) = 16^4 \cdot 17 \quad (\text{кратно } 17);

б) 38^9 - 38^8 = 38^8(38 - 1) = 38^8 \cdot 37 \quad (\text{кратно } 37);

в) 36^5 - 6^9 = (6^2)^5 - 6^9 = 6^{10} - 6^9 = 6^9(6 - 1) = 6^9 \cdot 5 = 6^8 \cdot 6 \cdot 5 = 6^8 \cdot 30 \quad (\text{кратно } 30);

г) 5^{18} - 25^8 = 5^{18} - (5^2)^8 = 5^{18} - 5^{16} = 5^{16}(5^2 - 1) = 5^{16}(25 - 1) = 5^{16} \cdot 24 = 5^{15} \cdot 5 \cdot 24 = 5^{15} \cdot 120 \quad (\text{кратно } 120).

Подробное решение

📚 Теория: Доказательство кратности

Чтобы доказать, что выражение кратно некоторому числу $n$ , нужно представить это выражение в виде произведения, один из множителей которого делится на $n$ или равен ему. Основной прием здесь — вынесение за скобки степени с наименьшим показателем.

Для доказательства используем метод вынесения общего множителя и свойства степеней:

Разбор пункта в)

Нужно доказать кратность 30 для $36^5 - 6^9$ . Сначала приведем основания к общему виду:

36^5 = (6^2)^5 = 6^{10}

Теперь вынесем $6^9$ за скобки:

6^{10} - 6^9 = 6^9(6 - 1) = 6^9 \cdot 5

Чтобы получить число 30, «заберем» одну шестерку из степени:

6^8 \cdot 6 \cdot 5 = 6^8 \cdot 30

Так как один из множителей равен 30, всё произведение делится на 30.

Разбор пункта г)

Для $5^{18} - 25^8$ :

5^{18} - (5^2)^8 = 5^{18} - 5^{16} = 5^{16}(5^2 - 1) = 5^{16} \cdot 24

Разложим $5^{16}$ на $5^{15} \cdot 5$ :

5^{15} \cdot 5 \cdot 24 = 5^{15} \cdot 120

Результат кратен 120, что и требовалось доказать.