Номер 681 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Докажите, что:

а) $7^{8} - 7^{7} + 7^{6}$ делится на $43$ ;

в) $2 7^{4} - 9^{5} + 3^{9}$ делится на $25$ ;

б) $2^{13} - 2^{10} - 2^{9}$ делится на $13$ ;

г) $1 6^{4} - 2^{13} - 4^{5}$ делится на $110$ .

Краткое решение

а) 7^{8} - 7^{7} + 7^{6} = 7^{6} (7^{2} - 7 + 1) = 7^{6} (49 - 7 + 1) = 7^{6} \cdot 43;

б) 2^{13} - 2^{10} - 2^{9} = 2^{9} (2^{4} - 2^{1} - 1) = 2^{9} (16 - 2 - 1) = 2^{9} \cdot 13;

в) 2 7^{4} - 9^{5} + 3^{9} = (3^{3})^{4} - (3^{2})^{5} + 3^{9} = 3^{12} - 3^{10} + 3^{9} = 3^{9} (3^{3} - 3^{1} + 1) = 3^{9} \cdot 25;

г) 1 6^{4} - 2^{13} - 4^{5} = (2^{4})^{4} - 2^{13} - (2^{2})^{5} = 2^{16} - 2^{13} - 2^{10} = 2^{10} (2^{6} - 2^{3} - 1) = 2^{10} \cdot 55 = 2^{9} \cdot 110.

Подробное решение

📚 Теория: Доказательство делимости

Чтобы доказать, что сумма или разность степеней делится на определенное число, нужно:
1. Привести все степени к одному основанию (если это возможно).
2. Вынести за скобки степень с наименьшим показателем.
3. Вычислить значение в скобках. Если полученный множитель делится на искомое число, то и всё выражение делится на него.

Разберем доказательство для пунктов с заменой основания:

Разбор пункта в)

Выражение: $2 7^{4} - 9^{5} + 3^{9}$ . Приведем всё к основанию 3:

$2 7^{4} = (3^{3})^{4} = 3^{12}$ ;
$9^{5} = (3^{2})^{5} = 3^{10}$ .

Выносим наименьшую степень $3^{9}$ :

3^{9} (3^{3} - 3^{1} + 1) = 3^{9} (27 - 3 + 1) = 3^{9} \cdot 25

Один из множителей равен 25, значит значение выражения кратно 25.

Разбор пункта г)

Приведем $1 6^{4} - 2^{13} - 4^{5}$ к основанию 2:

2^{16} - 2^{13} - 2^{10} = 2^{10} (2^{6} - 2^{3} - 1) = 2^{10} (64 - 8 - 1) = 2^{10} \cdot 55

Чтобы получить 110, представим $2^{10} \cdot 55$ как $2^{9} \cdot 2 \cdot 55 = 2^{9} \cdot 110$ . Делимость доказана.