Номер 679 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Докажите, что значение выражения:

а) $1 6^{5} + 1 6^{4}$ кратно $17$ ;

в) $3 6^{5} - 6^{9}$ кратно $30$ ;

б) $3 8^{9} - 3 8^{8}$ кратно $37$ ;

г) $5^{18} - 2 5^{8}$ кратно $120$ .

Краткое решение

а) 1 6^{5} + 1 6^{4} = 1 6^{4} (16 + 1) = 1 6^{4} \cdot 17 (кратно 17);

б) 3 8^{9} - 3 8^{8} = 3 8^{8} (38 - 1) = 3 8^{8} \cdot 37 (кратно 37);

в) 3 6^{5} - 6^{9} = (6^{2})^{5} - 6^{9} = 6^{10} - 6^{9} = 6^{9} (6 - 1) = 6^{9} \cdot 5 = 6^{8} \cdot 6 \cdot 5 = 6^{8} \cdot 30 (кратно 30);

г) 5^{18} - 2 5^{8} = 5^{18} - (5^{2})^{8} = 5^{18} - 5^{16} = 5^{16} (5^{2} - 1) = 5^{16} (25 - 1) = 5^{16} \cdot 24 = 5^{15} \cdot 5 \cdot 24 = 5^{15} \cdot 120 (кратно 120) .

Подробное решение

📚 Теория: Доказательство кратности

Чтобы доказать, что выражение кратно некоторому числу $n$ , нужно представить это выражение в виде произведения, один из множителей которого делится на $n$ или равен ему. Основной прием здесь — вынесение за скобки степени с наименьшим показателем.

Для доказательства используем метод вынесения общего множителя и свойства степеней:

Разбор пункта в)

Нужно доказать кратность 30 для $3 6^{5} - 6^{9}$ . Сначала приведем основания к общему виду:

3 6^{5} = (6^{2})^{5} = 6^{10}

Теперь вынесем $6^{9}$ за скобки:

6^{10} - 6^{9} = 6^{9} (6 - 1) = 6^{9} \cdot 5

Чтобы получить число 30, «заберем» одну шестерку из степени:

6^{8} \cdot 6 \cdot 5 = 6^{8} \cdot 30

Так как один из множителей равен 30, всё произведение делится на 30.

Разбор пункта г)

Для $5^{18} - 2 5^{8}$ :

5^{18} - (5^{2})^{8} = 5^{18} - 5^{16} = 5^{16} (5^{2} - 1) = 5^{16} \cdot 24

Разложим $5^{16}$ на $5^{15} \cdot 5$ :

5^{15} \cdot 5 \cdot 24 = 5^{15} \cdot 120

Результат кратен 120, что и требовалось доказать.