Номер 681 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Докажите, что:

а) $7^8 - 7^7 + 7^6$ делится на $43$ ;

в) $27^4 - 9^5 + 3^9$ делится на $25$ ;

б) $2^{13} - 2^{10} - 2^9$ делится на $13$ ;

г) $16^4 - 2^{13} - 4^5$ делится на $110$ .

Краткое решение

а) 7^8 - 7^7 + 7^6 = 7^6(7^2 - 7 + 1) = 7^6(49 - 7 + 1) = 7^6 \cdot 43;

б) 2^{13} - 2^{10} - 2^9 = 2^9(2^4 - 2^1 - 1) = 2^9(16 - 2 - 1) = 2^9 \cdot 13;

в) 27^4 - 9^5 + 3^9 = (3^3)^4 - (3^2)^5 + 3^9 = 3^{12} - 3^{10} + 3^9 = 3^9(3^3 - 3^1 + 1) = 3^9 \cdot 25;

г) 16^4 - 2^{13} - 4^5 = (2^4)^4 - 2^{13} - (2^2)^5 = 2^{16} - 2^{13} - 2^{10} = 2^{10}(2^6 - 2^3 - 1) = 2^{10} \cdot 55 = 2^9 \cdot 110.

Подробное решение

📚 Теория: Доказательство делимости

Чтобы доказать, что сумма или разность степеней делится на определенное число, нужно:
1. Привести все степени к одному основанию (если это возможно).
2. Вынести за скобки степень с наименьшим показателем.
3. Вычислить значение в скобках. Если полученный множитель делится на искомое число, то и всё выражение делится на него.

Разберем доказательство для пунктов с заменой основания:

Разбор пункта в)

Выражение: $27^4 - 9^5 + 3^9$ . Приведем всё к основанию 3:

$27^4 = (3^3)^4 = 3^{12}$ ;
$9^5 = (3^2)^5 = 3^{10}$ .

Выносим наименьшую степень $3^9$ :

3^9(3^3 - 3^1 + 1) = 3^9(27 - 3 + 1) = 3^9 \cdot 25

Один из множителей равен 25, значит значение выражения кратно 25.

Разбор пункта г)

Приведем $16^4 - 2^{13} - 4^5$ к основанию 2:

2^{16} - 2^{13} - 2^{10} = 2^{10}(2^6 - 2^3 - 1) = 2^{10}(64 - 8 - 1) = 2^{10} \cdot 55

Чтобы получить 110, представим $2^{10} \cdot 55$ как $2^9 \cdot 2 \cdot 55 = 2^9 \cdot 110$ . Делимость доказана.