Докажите, что значение выражения не зависит от переменной x:
а) (x−5)(x+8)−(x+4)(x−1);
б) x4−(x2−1)(x2+1).
Краткое решение
а) (x−5)(x+8)−(x+4)(x−1)=
=(x2+8x−5x−40)−(x2−x+4x−4)= =(x2+3x−40)−(x2+3x−4)= =x2+3x−40−x2−3x+4=−36. Так как результат (-36) не содержит x, значение выражения от x не зависит.
б) x4−(x2−1)(x2+1)=
=x4−(x4+x2−x2−1)= =x4−(x4−1)= =x4−x4+1=1. Результат (1) не зависит от x.
Подробное решение
📚 Теория: Независимость от переменной
Если после раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых все члены с переменной x взаимно уничтожаются и остается только число, это означает, что значение выражения будет одинаковым при любом x.
Для доказательства выполним упрощение каждого выражения по шагам:
Разбор пункта а)
- Перемножаем первые две скобки: x2+8x−5x−40.
- Перемножаем вторую пару скобок (результат пока держим в уме или в скобках): x2−x+4x−4.
- Упрощаем внутри скобок: получаем (x2+3x−40) и (x2+3x−4).
- Раскрываем скобки, учитывая минус перед второй частью (знаки меняются!): x2+3x−40−x2−3x+4.
- Приводим подобные: x2 и −x2 сокращаются, 3x и −3x сокращаются. Остается −40+4=−36.
Разбор пункта б)
Здесь используется умножение многочленов, которое позже вы узнаете как формулу разности квадратов. При перемножении (x2−1)(x2+1) средние члены x2 и −x2 уничтожаются сразу, остается x4−1. Минус перед скобкой превращает выражение в x4−x4+1, что дает единицу.
