Главная / 7 класс / Алгебра Макарычев / Номер 789

Номер 789 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Докажите, что значение выражения a2−aa^2 - a кратно 22 при любом целом aa.

Краткое решение

1) Разложим на множители:

a2−a=a(a−1).a^2 - a = a(a - 1).

2) Обоснование:

Выражение a(a−1)a(a - 1) есть произведение двух последовательных целых чисел.

3) Вывод:

Среди двух последовательных чисел одно обязательно является чётным (делится на 2). Значит, и их произведение кратно 2. Доказано.

Подробное решение

📚 Теория: Свойства последовательных чисел

Произведение двух последовательных целых чисел всегда чётно. Это происходит потому, что в любой паре соседних чисел (например, 4 и 5 или 11 и 12) одно число обязательно чётное, а другое — нечётное. Произведение любого числа на чётное всегда даёт чётный результат.

Подробное объяснение решения

Шаг 1: Преобразование выражения

Чтобы доказать делимость (кратность), нам нужно превратить разность a2−aa^2 - a в произведение. Для этого вынесем общий множитель aa за скобки:

a2−a=a⋅a−a⋅1=a(a−1)a^2 - a = a \cdot a - a \cdot 1 = a(a - 1)

Теперь перед нами произведение двух множителей: aa и a−1a - 1.

Шаг 2: Логика последовательных чисел

Заметим, что числа a−1a - 1 и aa являются последовательными (соседними) целыми числами. Например:

  • Если a=5a = 5, то a−1=4a - 1 = 4. Произведение 5⋅4=205 \cdot 4 = 20 (кратно 2).
  • Если a=10a = 10, то a−1=9a - 1 = 9. Произведение 10⋅9=9010 \cdot 9 = 90 (кратно 2).

В любой такой паре одно число будет чётным, а другое нечётным. Как мы знаем из курса математики 5-6 класса, если в произведении хотя бы один множитель делится на 2, то и всё произведение делится на 2.

Заключение

Так как один из множителей в произведении a(a−1)a(a - 1) гарантированно делится на 2, всё выражение a2−aa^2 - a кратно 2 при любом целом значении aa. Что и требовалось доказать.

💡 Похожие номера

← Вернуться к содержанию
Загрузка комментариев...