Докажите, что значение выражения:
- а) (35−34)(33+32) делится на 24;
- б) (210+28)(25−23) делится на 60;
- в) (163−83)(43+23) делится на 63;
- г) (1252+252)(52−1) делится на 39.
Краткое решение
а)34(3−1)⋅32(3+1)=34⋅2⋅32⋅4=36⋅8=35⋅(3⋅8)=35⋅24.
б)28(22+1)⋅23(22−1)=28⋅5⋅23⋅3=211⋅15=29⋅4⋅15=29⋅60.
в)((24)3−(23)3)⋅((22)3+23)=(212−29)(26+23)=
=29(23−1)⋅23(23+1)=212⋅7⋅9=212⋅63.
г)((53)2+(52)2)⋅24=(56+54)⋅24=54(52+1)⋅24=
=54⋅26⋅24=54⋅(2⋅13)⋅(3⋅8)=54⋅16⋅39.
Подробное решение
📚 Теория: Доказательство кратности
Для доказательства того, что выражение кратно числу N, необходимо разложить его на множители так, чтобы один из множителей был равен N (или делился на N).
Основные приемы:
1. Приведение степеней к общему основанию.
2. Вынесение общего множителя за скобки.
Подробный разбор доказательств
Пункт а): выделение множителя 24
В каждой скобке вынесем за скобки степень с наименьшим показателем:
- Первая скобка: 35−34=34(31−1)=34⋅2.
- Вторая скобка: 33+32=32(31+1)=32⋅4.
Перемножим результаты: (34⋅2)⋅(32⋅4)=3(4+2)⋅8=36⋅8.
Нам нужно доказать делимость на 24. Заметим, что 24=3⋅8. Заберем одну тройку из 36:
35⋅(3⋅8)=35⋅24.
Так как один из множителей равен 24, всё выражение делится на 24.
Пункт в): приведение к основанию 2
Здесь основания разные: 16, 8, 4 и 2. Приведем всё к основанию 2:
16=24⟹163=(24)3=212
8=23⟹83=(23)3=29
4=22⟹43=(22)3=26
Выражение принимает вид: (212−29)(26+23). Выносим множители:
29(23−1)⋅23(23+1)=29⋅7⋅23⋅9=212⋅(7⋅9)=212⋅63.
Число 63 является множителем, значит делимость доказана.
Пункт г): получение 39
Приведем 125 и 25 к основанию 5:
1252=(53)2=56
252=(52)2=54
Преобразуем выражение: (56+54)(25−1)=54(52+1)⋅24=54⋅26⋅24.
Разложим числа 26 и 24 на простые множители, чтобы найти 39 (13⋅3):
54⋅(2⋅13)⋅(3⋅8)=54⋅16⋅39.
Делимость на 39 доказана.
