Номер 798 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Докажите, что значение выражения не зависит от значения переменной:

а) $(a - 3) (a^{2} - 8 a + 5) - (a - 8) (a^{2} - 3 a + 5)$ ;
б) $(x^{2} - 3 x + 2) (2 x + 5) - (2 x^{2} + 7 x + 17) (x - 4)$ ;
в) $(b^{2} + 4 b - 5) (b - 2) + (3 - b) (b^{2} + 5 b + 2)$ .

Краткое решение

а) Раскроем скобки:

(a^{3} - 8 a^{2} + 5 a - 3 a^{2} + 24 a - 15) - (a^{3} - 3 a^{2} + 5 a - 8 a^{2} + 24 a - 40) =

= (a^{3} - 11 a^{2} + 29 a - 15) - (a^{3} - 11 a^{2} + 29 a - 40) =

= a^{3} - 11 a^{2} + 29 a - 15 - a^{3} + 11 a^{2} - 29 a + 40 = 25.

Результат 25 не содержит переменную $a$ , значит, значение выражения не зависит от $a$ . Доказано.

б) Раскроем скобки:

(2 x^{3} + 5 x^{2} - 6 x^{2} - 15 x + 4 x + 10) - (2 x^{3} - 8 x^{2} + 7 x^{2} - 28 x + 17 x - 68) =

= (2 x^{3} - x^{2} - 11 x + 10) - (2 x^{3} - x^{2} - 11 x - 68) =

= 2 x^{3} - x^{2} - 11 x + 10 - 2 x^{3} + x^{2} + 11 x + 68 = 78.

Результат 78 не зависит от $x$ . Доказано.

в) Раскроем скобки:

(b^{3} - 2 b^{2} + 4 b^{2} - 8 b - 5 b + 10) + (3 b^{2} + 15 b + 6 - b^{3} - 5 b^{2} - 2 b) =

= (b^{3} + 2 b^{2} - 13 b + 10) + (- b^{3} - 2 b^{2} + 13 b + 6) = 16.

Результат 16 не зависит от $b$ . Доказано.

Подробное решение

📚 Теория: Доказательство независимости

Утверждение «выражение не зависит от переменной» означает, что после выполнения всех упрощений (раскрытия скобок и приведения подобных) все слагаемые, содержащие буквенную часть, взаимно уничтожатся. В итоге должно остаться только число.

Подробный разбор доказательств

Пункт а)

Для доказательства перемножим многочлены в обеих частях.

Первая группа: $a (a^{2} - 8 a + 5) - 3 (a^{2} - 8 a + 5) = a^{3} - 8 a^{2} + 5 a - 3 a^{2} + 24 a - 15 = a^{3} - 11 a^{2} + 29 a - 15$ .

Вторая группа: $a (a^{2} - 3 a + 5) - 8 (a^{2} - 3 a + 5) = a^{3} - 3 a^{2} + 5 a - 8 a^{2} + 24 a - 40 = a^{3} - 11 a^{2} + 29 a - 40$ .

Теперь вычтем вторую группу из первой. Важно: все знаки второй группы меняются на противоположные!

a^{3} - 11 a^{2} + 29 a - 15 - a^{3} + 11 a^{2} - 29 a + 40 = 25

Все члены с $a^{3}$ , $a^{2}$ и $a$ сократились. Результат — число 25. Независимость доказана.

Пункт б)

Умножим скобки. Здесь принцип тот же, но коэффициенты другие.

После раскрытия первой пары получаем $2 x^{3} - x^{2} - 11 x + 10$ .

После раскрытия второй пары (не забывая про минус перед ней): $- (2 x^{3} - x^{2} - 11 x - 68) = - 2 x^{3} + x^{2} + 11 x + 68$ .

При сложении всех слагаемых иксы исчезают: $10 + 68 = 78$ . Доказано.

Пункт в)

В этом примере вторая группа скобок соединена знаком плюс, что упрощает задачу.

Левая часть: $b^{3} + 2 b^{2} - 13 b + 10$ .

Правая часть: $- b^{3} - 2 b^{2} + 13 b + 6$ .

Складываем: $b^{3} - b^{3} = 0$ , $2 b^{2} - 2 b^{2} = 0$ , $- 13 b + 13 b = 0$ .
Остается только сумма чисел: $10 + 6 = 16$ . Независимость от переменной $b$ доказана.