Докажите, что:
а) Пусть — первое число.
Тогда числа: .
Так как есть множитель 5, сумма кратна 5. Доказано.
б) Пусть — последовательные нечётные числа.
Так как есть множитель 8, сумма кратна 8. Доказано.
Для решения задач на доказательство важно правильно выбрать вид переменной:
Любые пять чисел, идущих друг за другом, можно представить как , где — натуральное число.
Сложим их: .
Сгруппируем переменные и числа: .
Вынесем общий множитель 5 за скобки: .
По правилам математики, если один из множителей произведения делится на число, то и всё произведение делится на это число. Наше выражение содержит множитель 5, значит, сумма всегда кратна 5.
Нечётные числа можно записывать по-разному. Удобнее всего взять симметричную запись относительно центра: .
При сложении таких чисел все свободные слагаемые взаимно уничтожаются:
Результат очевидно кратен 8, так как содержит множитель 8.
Заметка: если бы мы взяли числа , сумма была бы , что также кратно 8.
