Главная / 7 класс / Алгебра Макарычев / Номер 792

Номер 792 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Докажите, что:

Краткое решение

а) Пусть n,n+1,n+2n, n+1, n+2 — последовательные показатели.

2n+2n+1+2n+2=2n(1+21+22)=2^n + 2^{n+1} + 2^{n+2} = 2^n(1 + 2^1 + 2^2) =
=2n(1+2+4)=2n⋅7=2n−1⋅2⋅7=2n−1⋅14.= 2^n(1 + 2 + 4) = 2^n \cdot 7 = 2^{n-1} \cdot 2 \cdot 7 = 2^{n-1} \cdot 14.

Выражение кратно 14. Доказано.

б) Пусть n,n+1n, n+1 — последовательные показатели.

5n+5n+1=5n(1+51)=5n⋅6=5^n + 5^{n+1} = 5^n(1 + 5^1) = 5^n \cdot 6 =
=5n−1⋅5⋅6=5n−1⋅30.= 5^{n-1} \cdot 5 \cdot 6 = 5^{n-1} \cdot 30.

Выражение кратно 30. Доказано.

Подробное решение

📚 Теория: Вынесение степени за скобки

При работе с суммами степеней используйте метод вынесения общего множителя. Общим множителем всегда является степень с наименьшим показателем.
Для доказательства делимости на число XX, нужно представить выражение как произведение, в котором один из множителей равен XX.

Подробный разбор доказательств

Разбор пункта а): сумма трех степеней двойки

1. Обозначим показатели степеней как nn, n+1n+1 и n+2n+2. Тогда сумма будет выглядеть так: 2n+2n+1+2n+22^n + 2^{n+1} + 2^{n+2}.

2. Вынесем самую маленькую степень 2n2^n за скобки. В скобках останутся единицы и двойки в соответствующих степенях:

2n(1+21+22)=2n(1+2+4)=2n⋅72^n(1 + 2^1 + 2^2) = 2^n(1 + 2 + 4) = 2^n \cdot 7

3. Нам нужно доказать делимость на 14. Число 7 уже есть. Чтобы получить 14, нам нужна еще одна двойка. Мы можем «забрать» её из 2n2^n. Представим 2n2^n как 2n−1⋅212^{n-1} \cdot 2^1.

2n−1⋅(2⋅7)=2n−1⋅142^{n-1} \cdot (2 \cdot 7) = 2^{n-1} \cdot 14

Так как в произведении есть множитель 14, вся сумма делится на 14.

Разбор пункта б): сумма двух степеней пятерки

1. Запишем сумму: 5n+5n+15^n + 5^{n+1}. Выносим 5n5^n за скобки:

5n(1+5)=5n⋅65^n(1 + 5) = 5^n \cdot 6

2. Нам нужно доказать делимость на 30. У нас уже есть множитель 6. Чтобы получить 30, не хватает множителя 5. Заберем одну пятерку из 5n5^n, представив его как 5n−1⋅55^{n-1} \cdot 5:

5n−1⋅5⋅6=5n−1⋅305^{n-1} \cdot 5 \cdot 6 = 5^{n-1} \cdot 30

Полученное произведение содержит 30, значит, оно делится на 30 без остатка.

💡 Похожие номера

← Вернуться к содержанию
Загрузка комментариев...