Номер 801 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Докажите, что:

а) произведение двух средних из четырёх последовательных целых чисел на $2$ больше произведения крайних чисел;
б) квадрат среднего из трёх последовательных нечётных чисел на $4$ больше произведения двух крайних чисел.

Краткое решение

а) Пусть $n, n + 1, n + 2, n + 3$ — четыре числа.

Произведение средних: $(n + 1) (n + 2) = n^{2} + 3 n + 2$ .

Произведение крайних: $n (n + 3) = n^{2} + 3 n$ .

(n^{2} + 3 n + 2) - (n^{2} + 3 n) = 2

Разность равна 2. Доказано.

б) Пусть $2 n - 1, 2 n + 1, 2 n + 3$ — последовательные нечётные числа.

Квадрат среднего: $(2 n + 1)^{2} = 4 n^{2} + 4 n + 1$ .

Произведение крайних: $(2 n - 1) (2 n + 3) = 4 n^{2} + 6 n - 2 n - 3 = 4 n^{2} + 4 n - 3$ .

(4 n^{2} + 4 n + 1) - (4 n^{2} + 4 n - 3) = 1 + 3 = 4

Разность равна 4. Доказано.

Подробное решение

📚 Теория: Доказательство разности

Чтобы доказать, что одна величина больше другой на число $k$ , нужно из выражения для большей величины вычесть выражение для меньшей. Если в результате упрощения получится число $k$ , утверждение верно.

Подробный разбор доказательств

Разбор пункта а)

1. Обозначим четыре последовательных целых числа. Пусть самое маленькое — это $n$ . Тогда следующие за ним: $n + 1$ , $n + 2$ и $n + 3$ .

2. Крайние числа — это $n$ и $n + 3$ . Их произведение: $n (n + 3) = n^{2} + 3 n$ .

3. Средние числа — это $n + 1$ и $n + 2$ . Перемножим их: $(n + 1) (n + 2) = n^{2} + 2 n + n + 2 = n^{2} + 3 n + 2$ .

4. Сравним результаты. Мы видим, что выражение для средних чисел содержит те же слагаемые $n^{2} + 3 n$ , но имеет дополнительную «двойку». Значит, оно действительно всегда больше на 2.

Разбор пункта б)

1. Нечётные числа всегда отличаются друг от друга на 2. Обозначим их как $2 n - 1$ , $2 n + 1$ (среднее) и $2 n + 3$ .

2. Возведем среднее число в квадрат: $(2 n + 1)^{2} = (2 n + 1) (2 n + 1) = 4 n^{2} + 2 n + 2 n + 1 = 4 n^{2} + 4 n + 1$ .

3. Найдем произведение крайних: $(2 n - 1) (2 n + 3) = 4 n^{2} + 6 n - 2 n - 3 = 4 n^{2} + 4 n - 3$ .

4. Вычтем из квадрата среднего произведение крайних:
$(4 n^{2} + 4 n + 1) - (4 n^{2} + 4 n - 3) = 4 n^{2} + 4 n + 1 - 4 n^{2} - 4 n + 3 = 4$ .
Полученное число 4 доказывает утверждение задачи.