Главная / 7 класс / Алгебра Макарычев / Номер 793

Номер 793 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Докажите, что выражение тождественно равно некоторому двучлену:

а) (x+y)(x2−xy+y2)(x + y)(x^2 - xy + y^2);
в) (a+b)(a3−a2b+ab2−b3)(a + b)(a^3 - a^2b + ab^2 - b^3);
б) (x−y)(x2+xy+y2)(x - y)(x^2 + xy + y^2);
г) (a−b)(a3+a2b+ab2+b3)(a - b)(a^3 + a^2b + ab^2 + b^3).

Краткое решение

а) Раскроем скобки:

(x+y)(x2−xy+y2)=x3−x2y+xy2+x2y−xy2+y3=x3+y3(x + y)(x^2 - xy + y^2) = x^3 - x^2y + xy^2 + x^2y - xy^2 + y^3 = x^3 + y^3

Получен двучлен x3+y3x^3 + y^3. Доказано.

б) Раскроем скобки:

(x−y)(x2+xy+y2)=x3+x2y+xy2−x2y−xy2−y3=x3−y3(x - y)(x^2 + xy + y^2) = x^3 + x^2y + xy^2 - x^2y - xy^2 - y^3 = x^3 - y^3

Получен двучлен x3−y3x^3 - y^3. Доказано.

в) Перемножим многочлены:

(a+b)(a3−a2b+ab2−b3)=(a + b)(a^3 - a^2b + ab^2 - b^3) =
=a4−a3b+a2b2−ab3+a3b−a2b2+ab3−b4=a4−b4= a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + a^3b - a^2b^2 + ab^3 - b^4 = a^4 - b^4

Получен двучлен a4−b4a^4 - b^4. Доказано.

г) Перемножим многочлены:

(a−b)(a3+a2b+ab2+b3)=(a - b)(a^3 + a^2b + ab^2 + b^3) =
=a4+a3b+a2b2+ab3−a3b−a2b2−ab3−b4=a4−b4= a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 - a^3b - a^2b^2 - ab^3 - b^4 = a^4 - b^4

Получен двучлен a4−b4a^4 - b^4. Доказано.

Подробное решение

📚 Теория: Умножение многочленов

Чтобы перемножить две скобки, нужно каждое слагаемое из первой скобки по очереди умножить на каждое слагаемое из второй скобки. Полученные результаты складываются с учетом знаков.

Кстати, результаты пунктов а и б — это важные формулы «сумма кубов» и «разность кубов», которые скоро будут изучаться отдельно.

Подробный разбор решения

Основная цель этого задания — увидеть, как при перемножении длинных скобок промежуточные слагаемые «взаимно уничтожаются», превращаясь в ноль.

Шаг 1: Правило «фонтанчика»

Разберем пункт в): (a+b)(a3−a2b+ab2−b3)(a + b)(a^3 - a^2b + ab^2 - b^3).

Сначала мы берем букву a и умножаем её на всё содержимое второй скобки:

  • a⋅a3=a4a \cdot a^3 = a^4
  • a⋅(−a2b)=−a3ba \cdot (-a^2b) = -a^3b
  • a⋅ab2=a2b2a \cdot ab^2 = a^2b^2
  • a⋅(−b3)=−ab3a \cdot (-b^3) = -ab^3

Затем берем букву b и делаем то же самое:

  • b⋅a3=a3bb \cdot a^3 = a^3b
  • b⋅(−a2b)=−a2b2b \cdot (-a^2b) = -a^2b^2
  • b⋅ab2=ab3b \cdot ab^2 = ab^3
  • b⋅(−b3)=−b4b \cdot (-b^3) = -b^4

Шаг 2: Приведение подобных

Теперь записываем всё в одну длинную строку и ищем пары, которые в сумме дают ноль:

a4−a3b+a3b⏟0+a2b2−a2b2⏟0−ab3+ab3⏟0−b4a^4 \underbrace{- a^3b + a^3b}_{0} \underbrace{+ a^2b^2 - a^2b^2}_{0} \underbrace{- ab^3 + ab^3}_{0} - b^4

Как мы видим, все слагаемые в середине исчезли. Остались только первое (a4a^4) и последнее (−b4-b^4). Результат — двучлен. Что и требовалось доказать.

💡 Похожие номера

← Вернуться к содержанию
Загрузка комментариев...