Номер 803 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Если длину прямоугольника уменьшить на $4$ см, а ширину увеличить на $5$ см, то получится квадрат, площадь которого больше площади прямоугольника на $40$ см $^{2}$ . Найдите площадь прямоугольника.

Краткое решение

Пусть $x$ см — сторона получившегося квадрата.

Тогда первоначальные стороны прямоугольника: $x + 4$ см и $x - 5$ см.

Площадь квадрата: $x^{2}$ . Площадь прямоугольника: $(x + 4) (x - 5)$ .

Составим уравнение:

x^{2} = (x + 4) (x - 5) + 40

x^{2} = x^{2} - 5 x + 4 x - 20 + 40

x^{2} = x^{2} - x + 20

x = 20 (см).

Стороны прямоугольника: $24$ см и $15$ см.

Площадь прямоугольника: $24 \cdot 15 = 360 (см^{2}) .$

Ответ: 360 см².

Подробное решение

📚 Теория: Квадрат и прямоугольник

1. У квадрата все стороны равны. Если прямоугольник стал квадратом, значит его новые длина и ширина совпали.
2. Площадь вычисляется как произведение сторон: $S = a \cdot b$ .
3. Чтобы составить уравнение, приравняйте площади, добавив разницу к меньшей величине.

Подробный разбор решения

Шаг 1: Выбор переменной

Для удобства примем за $x$ сторону нового квадрата.
Поскольку длину прямоугольника уменьшили на 4 см, чтобы получить $x$ , изначально она была $x + 4$ см.
Аналогично, ширину увеличили на 5 см, значит изначально она была $x - 5$ см.

Шаг 2: Составление уравнения

Площадь квадрата ( $x^{2}$ ) больше площади старого прямоугольника ( $(x + 4) (x - 5)$ ) на 40 см². Составим равенство:

x^{2} = (x + 4) (x - 5) + 40

Шаг 3: Решение

Раскрываем скобки: $x^{2} = x^{2} - 5 x + 4 x - 20 + 40$ .
Приводим подобные: $x^{2} = x^{2} - x + 20$ .
Переносим переменные в одну сторону: $x^{2} - x^{2} + x = 20 ⟹ x = 20$ .
Сторона квадрата равна 20 см.

Шаг 4: Нахождение площади прямоугольника

Вычисляем стороны прямоугольника:

Длина: $20 + 4 = 24$ см.
Ширина: $20 - 5 = 15$ см.

Искомая площадь: $24 \cdot 15 = 360$ см².