Номер 804 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Периметр прямоугольника равен $36$ м. Если его длину увеличить на $1$ м, а ширину увеличить на $2$ м, то его площадь увеличится на $30$ м $^{2}$ . Определите площадь первоначального прямоугольника.

Краткое решение

Сумма длин смежных сторон: $36 : 2 = 18$ м.

Пусть $x$ м — длина, тогда $(18 - x)$ м — ширина.

Составим уравнение:

(x + 1) (18 - x + 2) = x (18 - x) + 30

(x + 1) (20 - x) = 18 x - x^{2} + 30

20 x - x^{2} + 20 - x = 18 x - x^{2} + 30

19 x + 20 = 18 x + 30

x = 10 (м).

Ширина: $18 - 10 = 8$ м.

Начальная площадь: $10 \cdot 8 = 80 (м^{2}) .$

Ответ: 80 м².

Подробное решение

💡 Важная формула

Периметр прямоугольника $P = 2 (a + b)$ . Отсюда сумма длины и ширины равна половине периметра (полупериметру). Использование этого факта позволяет ввести только одну переменную вместо двух.

Пошаговое решение

1. Подготовка данных

Зная периметр (36 м), найдем сумму длины и ширины: $36 : 2 = 18$ м.
Если обозначить длину за $x$ , то ширина будет составлять $18 - x$ .

2. Анализ изменений

Старая площадь: $S_{1} = x (18 - x)$ .
Новая длина: $x + 1$ .
Новая ширина: $(18 - x) + 2 = 20 - x$ .
Новая площадь: $S_{2} = (x + 1) (20 - x)$ .

3. Составление и решение уравнения

Разница площадей равна 30 м²:

(x + 1) (20 - x) - x (18 - x) = 30

Раскрываем скобки:

20 x - x^{2} + 20 - x - 18 x + x^{2} = 30

Приводим подобные: $x^{2}$ уничтожаются, $20 x - x - 18 x = x$ .
$x + 20 = 30 ⟹ x = 10$ .
Длина равна 10 метров.

4. Финальный расчет

Находим ширину: $18 - 10 = 8$ м.
Первоначальная площадь прямоугольника: $10 \cdot 8 = 80$ м².