Главная / 7 класс / Алгебра Макарычев / Номер 795

Номер 795 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Докажите, что выражение (y+8)(y−7)−4(0,25y−16)(y + 8)(y - 7) - 4(0,25y - 16) при любом значении yy принимает положительные значения.

Краткое решение

1) Раскроем скобки и упростим:

(y+8)(y−7)−4(0,25y−16)=(y + 8)(y - 7) - 4(0,25y - 16) =
=y2−7y+8y−56−y+64== y^2 - 7y + 8y - 56 - y + 64 =
=y2+8.= y^2 + 8.

2) Оценка значения:

Так как y2≥0y^2 \ge 0 при любом yy, то y2+8≥8y^2 + 8 \ge 8.

Следовательно, y2+8>0y^2 + 8 > 0. Доказано.

Подробное решение

📚 Теория: Оценка выражения

Чтобы доказать, что выражение всегда положительно, нужно упростить его до вида, где переменная стоит в чётной степени (которая всегда ≥0\ge 0), а к ней прибавляется положительное число.

Подробный разбор доказательства

Шаг 1: Раскрытие скобок

Сначала перемножим первые две скобки (многочлен на многочлен):

(y+8)(y−7)=y⋅y−7⋅y+8⋅y−56=y2+y−56.(y + 8)(y - 7) = y \cdot y - 7 \cdot y + 8 \cdot y - 56 = y^2 + y - 56.

Затем умножим число 4 на вторую скобку (одночлен на многочлен):

−4(0,25y−16)=−4⋅0,25y−4⋅(−16)=−y+64.-4(0,25y - 16) = -4 \cdot 0,25y - 4 \cdot (-16) = -y + 64.

Шаг 2: Приведение подобных

Запишем всё выражение целиком и приведем подобные слагаемые:

y2+y−y⏟0−56+64⏟8=y2+8.y^2 + \underbrace{y - y}_{0} \underbrace{- 56 + 64}_{8} = y^2 + 8.

Мы видим, что слагаемые с переменной yy в первой степени взаимно уничтожились.

Шаг 3: Логический вывод

Нам нужно понять, может ли y2+8y^2 + 8 быть нулем или отрицательным числом.

  • Квадрат любого числа — это всегда неотрицательная величина: y2≥0y^2 \ge 0.
  • Если мы прибавим к числу, которое не меньше нуля, положительное число 8, результат всегда будет не меньше 8.

Так как 8>08 > 0, то и всё выражение y2+8y^2 + 8 всегда будет строго больше нуля при любом значении yy. Доказано.

💡 Похожие номера

← Вернуться к содержанию
Загрузка комментариев...