Сравните с нулём значение выражения:
- а) x2−30x+225;
- б) −x2+2xy−y2.
Краткое решение
а) x2−30x+225=
=x2−2⋅x⋅15+152=(x−15)2. (x−15)2≥0. Ответ: выражение неотрицательно (≥0).
б) −x2+2xy−y2=
=−(x2−2xy+y2)=−(x−y)2. (x−y)2≥0⟹−(x−y)2≤0. Ответ: выражение неположительно (≤0).
Подробное решение
📚 Правила сравнения с нулём
Чтобы определить знак выражения, преобразуйте его в полный квадрат:
- Выражение вида (A)2 всегда больше или равно 0.
- Выражение вида −(A)2 всегда меньше или равно 0.
Развернутый пошаговый разбор
Разбор пункта а): x2−30x+225
1. Проверим, является ли это выражение полным квадратом.
Первый член: x2.
Третий член: 225=152.
Удвоенное произведение: 2⋅x⋅15=30x. Совпадает со средним членом.
2. Свернем выражение в квадрат разности: (x−15)2.
3. Согласно основному свойству квадрата, любая величина во второй степени не может быть меньше нуля. Значит, (x−15)2≥0 при любых значениях x.
Разбор пункта б): −x2+2xy−y2
1. В этом выражении перед квадратами стоят знаки минус. Вынесем минус за скобки, чтобы внутри получился стандартный трёхчлен:
−(x2−2xy+y2).
2. Свернем выражение в скобках в квадрат разности: −(x−y)2.
3. Рассуждаем логически: сам по себе квадрат (x−y)2 всегда больше или равен нулю. Но знак минус перед ним меняет всё «наоборот». Любое положительное число станет отрицательным, а ноль останется нулём.
4. Следовательно, значение всего выражения всегда будет меньше или равно нулю: ≤0.
