Номер 860 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Представьте выражение в виде квадрата двучлена, если это возможно:

а)

\frac{1}{4} x^{2} + 3 x + 9

;

г)

\frac{1}{9} x^{2} + \frac{2}{15} x y + \frac{1}{25} y^{2}

;

б)

25 a^{2} - 30 ab + 9 b^{2}

;

д)

100 b^{2} + 9 c^{2} - 60 b c

;

в)

p^{2} - 2 p + 4

;

е)

49 x^{2} + 12 x y + 64 y^{2}

Краткое решение

а)

\frac{1}{4} x^{2} + 3 x + 9 =

= (\frac{1}{2} x)^{2} + 2 \cdot \frac{1}{2} x \cdot 3 + 3^{2} =

= (\frac{1}{2} x + 3)^{2} .

б)

25 a^{2} - 30 ab + 9 b^{2} =

= (5 a)^{2} - 2 \cdot 5 a \cdot 3 b + (3 b)^{2} =

= (5 a - 3 b)^{2} .

в)

p^{2} - 2 p + 4 = p^{2} - 2 p + 2^{2}

— не является полным квадратом двучлена, так как

2 \cdot p \cdot 2 = 4 p .

г)

\frac{1}{9} x^{2} + \frac{2}{15} x y + \frac{1}{25} y^{2} =

= (\frac{1}{3} x)^{2} + 2 \cdot \frac{1}{3} x \cdot \frac{1}{5} y + (\frac{1}{5} y)^{2} =

= (\frac{1}{3} x + \frac{1}{5} y)^{2} .

д)

100 b^{2} + 9 c^{2} - 60 b c =

= 100 b^{2} - 60 b c + 9 c^{2} =

= (10 b)^{2} - 2 \cdot 10 b \cdot 3 c + (3 c)^{2} =

= (10 b - 3 c)^{2} .

е)

49 x^{2} + 12 x y + 64 y^{2} =

= (7 x)^{2} + 12 x y + (8 y)^{2}

— не является полным квадратом двучлена, так как

2 \cdot 7 x \cdot 8 y = 112 x y .

Подробное решение

📚 Условие «полного квадрата»

Выражение можно представить в виде квадрата двучлена только если оно строго соответствует формуле $A^{2} \pm 2 A B + B^{2}$ :

Найдите основания $A$ и $B$ из крайних слагаемых.
Обязательно проверьте средний член: он должен быть равен именно удвоенному произведению $2 A B$ .

Развернутый пошаговый разбор

Разбор пункта а): работа с дробями

1. Выделяем квадраты: $\frac{1}{4} x^{2}$ — это $(\frac{1}{2} x)^{2}$ . Число $9$ — это $3^{2}$ .

2. Проверяем средний член. По формуле он должен быть равен $2 \cdot \frac{1}{2} x \cdot 3$ . Считаем: $1 \cdot x \cdot 3 = 3 x$ .

3. Так как средний член в условии ( $3 x$ ) совпал с расчетным, мы сворачиваем выражение в квадрат суммы: $(\frac{1}{2} x + 3)^{2}$ .

Разбор пункта в): почему решение невозможно?

1. Из крайних членов $p^{2}$ и $4$ мы находим основания: $p$ и $2$ .

2. Рассчитаем, каким должно быть удвоенное произведение для этих оснований: $2 \cdot p \cdot 2 = 4 p$ .

3. В условии задачи средний член равен $2 p$ . Так как $4 p \neq = 2 p$ , данное выражение не является полным квадратом и его нельзя свернуть по формуле.

Разбор пункта д): изменение порядка слагаемых

В выражении $100 b^{2} + 9 c^{2} - 60 b c$ слагаемые стоят не по порядку. Сначала переставим их так, чтобы удвоенное произведение было посередине: $100 b^{2} - 60 b c + 9 c^{2}$ .

Теперь основания очевидны: $10 b$ и $3 c$ . Проверяем: $2 \cdot 10 b \cdot 3 c = 60 b c$ . Всё верно. Ответ: $(10 b - 3 c)^{2}$ .