Представьте трёхчлен в виде квадрата двучлена или в виде выражения, противоположного квадрату двучлена:
а) −1+4a−4a2;
г) −44ax+121a2+4x2;
б) −42a+9a2+49;
д) 4cd−25c2−0,16d2;
в) 24ab−16a2−9b2;
е) −0,49x2−1,4xy−y2.
Краткое решение
а) −1+4a−4a2=−(1−4a+4a2)=
=−(12−2⋅1⋅2a+(2a)2)=−(1−2a)2.
б) −42a+9a2+49=9a2−42a+49=
=(3a)2−2⋅3a⋅7+72=(3a−7)2.
в) 24ab−16a2−9b2=−(16a2−24ab+9b2)=
=−((4a)2−2⋅4a⋅3b+(3b)2)=−(4a−3b)2.
г) −44ax+121a2+4x2=121a2−44ax+4x2=
=(11a)2−2⋅11a⋅2x+(2x)2=(11a−2x)2.
д) 4cd−25c2−0,16d2=−(25c2−4cd+0,16d2)=
=−((5c)2−2⋅5c⋅0,4d+(0,4d)2)=−(5c−0,4d)2.
е) −0,49x2−1,4xy−y2=−(0,49x2+1,4xy+y2)=
=−((0,7x)2+2⋅0,7x⋅y+y2)=−(0,7x+y)2.
Подробное решение
📚 Правило: Противоположное выражение
Если в трёхчлене оба квадрата имеют знак «минус» (например, −a2+2ab−b2), для свертки в формулу нужно вынести минус за скобки:
- Вынесите −1 за скобку, поменяв знаки у всех трёх слагаемых.
- Внутри скобок получится стандартный полный квадрат.
- Результат записывается как −(a±b)2.
Максимально подробный разбор решения
Разбор пункта а): −1+4a−4a2
Мы видим, что квадраты 1 и 4a2 стоят с отрицательными знаками. Чтобы применить формулу, вынесем минус за скобки:
−(1−4a+4a2). Теперь внутри скобок знаки распределены верно для формулы квадрата разности.
Выделяем основания: 1=12, а 4a2=(2a)2. Удвоенное произведение 2⋅1⋅2a=4a совпадает с условием.
Записываем ответ, сохраняя минус перед скобкой: −(1−2a)2.
Разбор пункта в): 24ab−16a2−9b2
Переставим слагаемые и вынесем минус: −(16a2−24ab+9b2).
Основания: 16a2=(4a)2 и 9b2=(3b)2.
Проверка удвоенного произведения: 2⋅4a⋅3b=24ab. Всё верно.
Итог: −(4a−3b)2.
Разбор пункта д): 4cd−25c2−0,16d2
1. Вынос минуса: −(25c2−4cd+0,16d2).
2. Поиск оснований: 25c2=(5c)2 и 0,16d2=(0,4d)2.
3. Проверка: 2⋅5c⋅0,4d=10c⋅0,4d=4cd. Значение совпадает.
4. Ответ: −(5c−0,4d)2.
