Номер 863 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Шаг 1. Анализ трёхчлена

Рассмотрим многочлен $x^2+6x+10$. Мы хотим превратить его часть в квадрат суммы по формуле $a^2+2ab+b^2=(a+b{)}^2$.

Первое слагаемое — $x^2$.
Удвоенное произведение — $6x$. Мы можем представить его как $2\cdot x\cdot 3$.
Значит, для полного квадрата нам не хватает числа $3^2=9$.

Шаг 2. Преобразование выражения

Представим число 10 как сумму $9+1$. Теперь перепишем наше выражение:

$x^2+6x+9+1$.

Первые три слагаемых $(x^2+6x+9)$ сворачиваются в квадрат двучлена: $(x+3{)}^2$.
Получаем итоговый вид: $(x+3{)}^2+1$.

Шаг 3. Логический вывод

1. Квадрат любого выражения всегда больше или равен нулю: $(x+3{)}^2\ge 0$.

2. Самое маленькое значение, которое может принять эта часть — это 0 (при $x=-3$).

3. Если мы прибавим единицу к числу, которое не меньше нуля, мы гарантированно получим число не меньше 1:
$(x+3{)}^2+1\ge 1$.

4. Так как 1 — это положительное число, то и всё выражение всегда будет принимать только положительные значения при любом $x$.

Утверждение доказано.