С помощью рисунка 87 разъясните геометрический смысл формулы для положительных и , удовлетворяющих условию .
1) Площадь фигуры на рисунке равна разности площадей большого квадрата со стороной и малого квадрата со стороной : .
2) Если переставить отрезанный прямоугольник со сторонами и , получится большой прямоугольник со сторонами и .
3) Площадь этого прямоугольника: .
Следовательно: .
Геометрический смысл алгебраических формул заключается в представлении выражений как площадей плоских фигур. В данном случае мы доказываем формулу через перегруппировку частей одной и той же площади.
На рисунке 87 изображен большой квадрат со стороной . В его нижнем левом углу пунктиром или линией выделен малый квадрат со стороной .
Если мы уберем (отрежем) малый квадрат, площадь оставшейся фигуры (Г-образной) будет равна:
.
Оставшуюся фигуру можно разделить на два прямоугольника:
Если мы «отрежем» нижний прямоугольник и приставим его справа к верхнему, мы получим один большой прямоугольник.
Высота полученного прямоугольника осталась прежней: .
Ширина стала равна сумме ширины верхнего прямоугольника () и ширины приставленного нижнего (), то есть .
Площадь этой новой фигуры вычисляется как произведение сторон:
.
Так как мы не меняли количество «материала» (площадь), а только переставили части, площади в обоих случаях равны. Это наглядно подтверждает тождество:
