Докажите, что выражение принимает лишь положительные значения:
а)
x2+2x+2;
в)
a2+b2−2ab+1;
б)
4y2−4y+6;
г)
9x2+4−6xy+4y2.
Краткое решение
а)
x2+2x+2=(x2+2x+1)+1=(x+1)2+1>0 б)
4y2−4y+6=(4y2−4y+1)+5=(2y−1)2+5>0 в)
a2+b2−2ab+1=(a2−2ab+b2)+1=(a−b)2+1>0 г)
9x2+4−6xy+4y2=(9x2−6xy+y2)+3y2+4= =(3x−y)2+3y2+4>0 Все утверждения доказаны.
Подробное решение
📚 Принцип решения
Любое выражение, которое можно представить как сумму квадрата и положительного числа, всегда будет принимать только положительные значения.
Это следует из того, что A2≥0 для любого A. Следовательно, A2+положительное число>0.
Развернутый пошаговый разбор всех пунктов
Пункт а): x2+2x+2
Разобьем число 2 на части 1+1.
Получим: (x2+2x+1)+1.
Группа в скобках — это полный квадрат (x+1)2.
Выражение (x+1)2+1 всегда больше или равно 1, так как квадрат не может быть отрицательным.
Пункт б): 4y2−4y+6
Здесь 4y2 — это квадрат 2y. Удвоенное произведение 4y равно 2⋅2y⋅1. Значит, нам нужна единица.
Представим 6 как 1+5.
Упрощаем: (4y2−4y+1)+5=(2y−1)2+5.
Результат всегда положителен (минимум 5).
Пункт г): 9x2+4−6xy+4y2
Это более сложный случай. Переставим слагаемые: 9x2−6xy+4y2+4.
Для квадрата разности (3x−y)2 нам нужны члены 9x2, −6xy и y2.
Возьмем y2 из имеющихся 4y2. Останется еще 3y2.
Перепишем выражение: (9x2−6xy+y2)+3y2+4=(3x−y)2+3y2+4.
У нас получилась сумма двух квадратов и числа 4. Так как квадраты не могут быть отрицательными, всё выражение всегда больше или равно 4. Значит, оно всегда положительно.
