Найдите наибольшее значение выражения:
- а) (7−6x)(7+6x);
- б) (4−31b)(31b+4);
- в) (31−2y)(31+2y);
- г) (4a+171)(171−4a).
Краткое решение
а) (7−6x)(7+6x)=72−(6x)2=49−36x2.
Так как 36x2≥0, то наибольшее значение равно 49.
б) (4−31b)(4+31b)=42−(31b)2=16−91b2.
Наибольшее значение равно 16.
в) (31−2y)(31+2y)=(31)2−(2y)2=91−4y2.
Наибольшее значение равно 91.
г) (171+4a)(171−4a)=(78)2−(4a)2=4964−16a2=14915−16a2.
Наибольшее значение равно 14915.
Подробное решение
📚 Оценка наибольшего значения
Чтобы найти наибольшее значение выражения вида C−A2, рассуждайте так:
- Любой квадрат всегда положителен или равен нулю: A2≥0.
- Когда мы вычитаем A2 из числа C, результат будет тем больше, чем меньше вычитаемое.
- Минимальное значение A2 — это ноль. Значит, наибольшее значение всей разности будет равно числу C.
Развернутый пошаговый разбор всех пунктов
Пункт а): (7−6x)(7+6x)
1. По формуле разности квадратов получаем 49−36x2.
2. Величина 36x2 всегда больше или равна 0. Если мы вычтем из 49 любое положительное число, результат станет меньше 49.
3. Поэтому максимум достигается при x=0, когда вычитаемое равно нулю. Ответ: 49.
Пункт б): (4−31b)(31b+4)
1. В сумме порядок не важен, поэтому представим её как (4+31b).
2. Произведение равно 16−91b2.
3. Самое большое значение здесь — 16, так как 91b2 не может быть отрицательным.
Пункт в): (31−2y)(31+2y)
Применяем формулу: (31)2−(2y)2=91−4y2. Максимально возможное значение — это уменьшаемое 91.
Пункт г): (4a+171)(171−4a)
1. Упорядочим множители относительно разности: (171+4a)(171−4a).
2. Переведем в неправильную дробь: 171=78.
3. Результат: (78)2−(4a)2=4964−16a2.
4. Выделяем целую часть: 14915−16a2. Наибольшее значение равно 14915.
