Номер 890 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Докажите, что сумма произведения трёх последовательных целых чисел и среднего из них равна кубу среднего числа.

Проверьте утверждение на примере чисел 19, 20, 21.
Составьте выражение, обозначив через $p$ одно из этих чисел, и выполните преобразование. Одному учащемуся рекомендуем обозначить через $p$ наименьшее из чисел, а другому — среднее из чисел.
Проверьте друг у друга правильность преобразований и сравните их сложность.

Краткое решение

1) $(19 \cdot 20 \cdot 21) + 20 =$

$= 7980 + 20 = 8000$

$2 0^{3} = 8000.$

2) Пусть $p$ — наименьшее число, тогда числа $p, p + 1, p + 2$ .

p \cdot (p + 1) \cdot (p + 2) + (p + 1) =

= (p^{2} + p) (p + 2) + p + 1 =

= p^{3} + 2 p^{2} + p^{2} + 2 p + p + 1 =

= p^{3} + 3 p^{2} + 3 p + 1 = (p + 1)^{3} .

Пусть $p$ — среднее число, тогда числа $p - 1, p, p + 1$ .

(p - 1) p (p + 1) + p =

= p (p - 1) (p + 1) + p =

= p (p^{2} - 1) + p =

= p^{3} - p + p = p^{3} .

3) В обоих случаях получаем куб среднего: $(p + 1)^{3}$ или $p^{3}$ .

Подробное решение

📚 Обозначение последовательных чисел

При доказательстве свойств последовательных чисел выбор переменной влияет на сложность счета:

Через наименьшее: $n, n + 1, n + 2$ .
Через среднее: $n - 1, n, n + 1$ . Это удобнее, так как крайние числа образуют разность квадратов.

Подробный разбор этапов задачи

Этап 1: Численная проверка

Возьмем числа 19, 20 и 21. Их произведение: $19 \cdot 20 \cdot 21 = 7980$ . Прибавим среднее число 20: $7980 + 20 = 8000$ . Проверим куб среднего: $2 0^{3} = 20 \cdot 20 \cdot 20 = 8000$ . Равенство верно.

Этап 2: Алгебраическое доказательство (вариант А)

Пусть $p$ — среднее число. Тогда числа запишутся как $(p - 1)$ , $p$ и $(p + 1)$ .

Составим выражение: $p (p - 1) (p + 1) + p$ .

Группа $(p - 1) (p + 1)$ — это разность квадратов $p^{2} - 1$ . Получаем: $p (p^{2} - 1) + p = p^{3} - p + p = p^{3}$ . Утверждение доказано самым быстрым способом.

Этап 3: Алгебраическое доказательство (вариант Б)

Пусть $p$ — наименьшее число. Числа: $p$ , $p + 1$ , $p + 2$ .

Выражение: $p (p + 1) (p + 2) + (p + 1)$ . Вынесем общий множитель $(p + 1)$ за скобку:
$(p + 1) \cdot [p (p + 2) + 1] = (p + 1) (p^{2} + 2 p + 1)$ .

Выражение во второй скобке — это квадрат суммы: $(p + 1)^{2}$ . Итого: $(p + 1) \cdot (p + 1)^{2} = (p + 1)^{3}$ . Мы получили куб среднего числа ( $p + 1$ ).

Сравнение сложности

Первый способ (через среднее число) значительно проще, так как формула разности квадратов позволяет избежать громоздкого вынесения за скобки и сворачивания квадрата суммы.