Докажите, что значение выражения не зависит от значения переменной:
- а) (a−1)(a2+1)(a+1)−(a2−1)2−2(a2−3);
- б) (a2−3)2−(a−2)(a2+4)(a+2)−6(5−a2).
Краткое решение
а)
(a−1)(a+1)(a2+1)−(a4−2a2+1)−2a2+6=
=(a2−1)(a2+1)−a4+2a2−1−2a2+6=
=a4−1−a4−1+6=4.
Значение 4 не зависит от a.
б)
(a4−6a2+9)−(a−2)(a+2)(a2+4)−30+6a2=
=a4+9−(a2−4)(a2+4)−30=
=a4+9−(a4−16)−30=
=a4+9−a4+16−30=−5.
Значение -5 не зависит от a.
Подробное решение
📚 Доказательство независимости
Чтобы доказать, что выражение не зависит от переменной:
- Раскройте все скобки, используя формулы сокращенного умножения.
- Примените свойство (x−y)(x+y)=x2−y2 последовательно (например, для a4−1).
- Приведите подобные слагаемые. Если в итоге все слагаемые с переменными (буквами) взаимно уничтожатся и останется только число, утверждение доказано.
Развернутый пошаговый разбор доказательства
Разбор пункта а)
1. В первой части переставим множители: (a−1)(a+1)(a2+1).
(a−1)(a+1)=a2−1.
Тогда (a2−1)(a2+1)=a4−1.
2. Раскроем квадрат разности и распределительное свойство:
−(a2−1)2=−(a4−2a2+1)=−a4+2a2−1.
−2(a2−3)=−2a2+6.
3. Собираем всё вместе: a4−1−a4+2a2−1−2a2+6.
Степени a4 и a2 уничтожаются.
−1−1+6=4.
Разбор пункта б)
1. Возведем в квадрат: (a2−3)2=a4−6a2+9.
2. Во второй части также сгруппируем разность квадратов:
(a−2)(a+2)=a2−4.
(a2−4)(a2+4)=a4−16.
3. Третья часть: −6(5−a2)=−30+6a2.
4. Итог: a4−6a2+9−(a4−16)−30+6a2=a4−6a2+9−a4+16−30+6a2=−5. Буквы сократились.
