Выполните разложение на множители:
- а) x2−2xc+c2−d2;
- б) c2+2c+1−a2;
- в) p2−x2+6x−9;
- г) x2−a2−10a−25.
Краткое решение
а) x2−2xc+c2−d2=
(x2−2xc+c2)−d2= =(x−c)2−d2= =((x−c)−d)((x−c)+d)= =(x−c−d)(x−c+d). б) c2+2c+1−a2=
=(c2+2c+1)−a2= =(c+1)2−a2= =((c+1)−a)((c+1)+a)= =(c+1−a)(c+1+a). в) p2−x2+6x−9=
=p2−(x2−6x+9)= =p2−(x−3)2= =(p−(x−3))(p+(x−3))= =(p−x+3)(p+x−3). г) x2−a2−10a−25=
=x2−(a2+10a+25)= =x2−(a+5)2= =(x−(a+5))(x+(a+5))= =(x−a−5)(x+a+5). Подробное решение
📚 Метод разложения на множители
Для решения таких примеров используется комбинация формул:
- Группировка трехчлена: выделите три члена, которые образуют квадрат суммы или разности (apmb)2.
- Вынесение минуса: если перед переменными в квадрате стоят минусы (пункты в, г), вынесите −1 за скобку для этого трехчлена.
- Разность квадратов: примените формулу X2−Y2=(X−Y)(X+Y) к полученному выражению.
- Раскрытие внутренних скобок: будьте внимательны со знаками при вычитании выражения в скобках.
Подробный пошаговый разбор
Разбор пункта а)
1. Заметим, что x2−2xc+c2 — это полный квадрат разности (x−c)2.
2. Теперь всё выражение принимает вид разности квадратов: (x−c)2−d2. Основаниями являются (x−c) и d.
3. Раскладываем по формуле и опускаем лишние скобки: (x−c−d)(x−c+d).
Разбор пункта в)
1. Чтобы получить формулу квадрата, вынесем минус за скобки у последних трех членов: p2−(x2−6x+9).
2. В скобках получаем (x−3)2. Всё выражение: p2−(x−3)2.
3. Применяем разность квадратов. Важный момент: при вычитании −(x−3) знаки внутри меняются на противоположные: −x+3.
Итог: (p−x+3)(p+x−3).
