Номер 967 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Докажите, что значения многочлена $x^{3} - x$ при целых значениях $x$ кратны числу 6.

Краткое решение

x^{3} - x = x (x^{2} - 1) = (x - 1) x (x + 1) .

$(x - 1), x, (x + 1)$ — три последовательных целых числа.

Среди трёх последовательных целых чисел:

хотя бы одно кратно 2;
хотя бы одно кратно 3.

Так как произведение делится на 2 и на 3, то оно делится на $2 \cdot 3 = 6$ .

Что и требовалось доказать.

Подробное решение

📚 Теория: Свойства последовательных чисел

1. Среди n последовательных целых чисел хотя бы одно делится на n.
2. Если число делится на взаимно простые числа (например, 2 и 3), то оно делится и на их произведение (6).

Для доказательства разложим многочлен на множители:

Вынесем общий множитель за скобки: $x^{3} - x = x (x^{2} - 1)$
Применим формулу разности квадратов $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ : $x (x - 1) (x + 1)$
Заметим, что $(x - 1), x$ и $(x + 1)$ — это три последовательных целых числа.
В любой последовательности из трёх целых чисел:
- Как минимум одно число чётное (делится на 2).
- Ровно одно число делится на 3.
Следовательно, произведение этих трёх чисел всегда делится на $2 \cdot 3 = 6$ .

💡 Похожие задачи

Номер 939 — Доказательство неделимости

Номер 967 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Краткое решение

Подробное решение

📚 Теория: Свойства последовательных чисел

💡 Похожие задачи

🕒 Вы недавно смотрели