Номер 964 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

(Для работы в парах.) Используя калькулятор, найдите значение многочлена $3,5x^3 - 2,1x^2 + 1,9x - 16,7$ при $x = 3,7$ .

Пусть один из вас вычислит сначала значения каждого члена многочлена, затем значение многочлена, а другой выполнит преобразование многочлена по образцу (схема Горнера) и сделает вычисления.
Отметьте затрату времени на выполнение задания в каждом случае.
Сравните полученные результаты и время.

Краткое решение

1-й способ (по членам):

$3,5 \cdot 3,7^3 = 3,5 \cdot 50,653 = 177,2855$
$2,1 \cdot 3,7^2 = 2,1 \cdot 13,69 = 28,749$
$1,9 \cdot 3,7 = 7,03$
$177,2855 - 28,749 + 7,03 - 16,7 = 138,8665$

2-й способ (преобразование):

((3,5x - 2,1)x + 1,9)x - 16,7 =

= ((3,5 \cdot 3,7 - 2,1) \cdot 3,7 + 1,9) \cdot 3,7 - 16,7 =

= (10,85 \cdot 3,7 + 1,9) \cdot 3,7 - 16,7 =

= 42,045 \cdot 3,7 - 16,7 = 138,8665.

Ответ: 138,8665.

Подробное решение

📚 Оптимизация вычислений

При работе с многочленами высоких степеней:

Прямая подстановка требует возведения в степень, что увеличивает количество операций и риск ошибки.
Схема Горнера (метод вложенных скобок) сводит задачу к последовательному умножению и сложению: $ax^2 + bx + c = (ax + b)x + c$ .
Этот метод значительно экономит время при ручных вычислениях и на калькуляторе.

Пошаговое выполнение задания

Способ 1: Прямое вычисление

Вычисляем каждое слагаемое по отдельности:

Первое: $3,5 \cdot (3,7 \cdot 3,7 \cdot 3,7) = 177,2855$ ;
Второе: $2,1 \cdot (3,7 \cdot 3,7) = 28,749$ ;
Третье: $1,9 \cdot 3,7 = 7,03$ .

Складываем и вычитаем результаты:
$177,2855 - 28,749 + 7,03 - 16,7 = 138,8665$ .

Способ 2: Метод вложенных скобок (Схема Горнера)

Преобразуем многочлен, последовательно вынося $x$ за скобки:

$3,5x^3 - 2,1x^2 + 1,9x - 16,7 = ((3,5x - 2,1)x + 1,9)x - 16,7$ .

Выполняем действия изнутри наружу:

$3,5 \cdot 3,7 - 2,1 = 12,95 - 2,1 = 10,85$ ;
$10,85 \cdot 3,7 + 1,9 = 40,145 + 1,9 = 42,045$ ;
$42,045 \cdot 3,7 - 16,7 = 155,5665 - 16,7 = 138,8665$ .

Вывод

Оба способа дают одинаковый результат. Второй способ (схема Горнера) требует меньше нажатий клавиш на калькуляторе и выполняется быстрее, так как не нужно запоминать или записывать промежуточные результаты возведения в степень.