(Для работы в парах.) Используя калькулятор, найдите значение многочлена 3,5x3−2,1x2+1,9x−16,7 при x=3,7.
- Пусть один из вас вычислит сначала значения каждого члена многочлена, затем значение многочлена, а другой выполнит преобразование многочлена по образцу (схема Горнера) и сделает вычисления.
- Отметьте затрату времени на выполнение задания в каждом случае.
- Сравните полученные результаты и время.
Краткое решение
1-й способ (по членам):
- 3,5⋅3,73=3,5⋅50,653=177,2855
- 2,1⋅3,72=2,1⋅13,69=28,749
- 1,9⋅3,7=7,03
- 177,2855−28,749+7,03−16,7=138,8665
2-й способ (преобразование):
((3,5x−2,1)x+1,9)x−16,7= =((3,5⋅3,7−2,1)⋅3,7+1,9)⋅3,7−16,7= =(10,85⋅3,7+1,9)⋅3,7−16,7= =42,045⋅3,7−16,7=138,8665. Ответ: 138,8665.
Подробное решение
📚 Оптимизация вычислений
При работе с многочленами высоких степеней:
- Прямая подстановка требует возведения в степень, что увеличивает количество операций и риск ошибки.
- Схема Горнера (метод вложенных скобок) сводит задачу к последовательному умножению и сложению: ax2+bx+c=(ax+b)x+c.
- Этот метод значительно экономит время при ручных вычислениях и на калькуляторе.
Пошаговое выполнение задания
Способ 1: Прямое вычисление
Вычисляем каждое слагаемое по отдельности:
- Первое: 3,5⋅(3,7⋅3,7⋅3,7)=177,2855;
- Второе: 2,1⋅(3,7⋅3,7)=28,749;
- Третье: 1,9⋅3,7=7,03.
Складываем и вычитаем результаты:
177,2855−28,749+7,03−16,7=138,8665.
Способ 2: Метод вложенных скобок (Схема Горнера)
Преобразуем многочлен, последовательно вынося x за скобки:
3,5x3−2,1x2+1,9x−16,7=((3,5x−2,1)x+1,9)x−16,7.
Выполняем действия изнутри наружу:
- 3,5⋅3,7−2,1=12,95−2,1=10,85;
- 10,85⋅3,7+1,9=40,145+1,9=42,045;
- 42,045⋅3,7−16,7=155,5665−16,7=138,8665.
Вывод
Оба способа дают одинаковый результат. Второй способ (схема Горнера) требует меньше нажатий клавиш на калькуляторе и выполняется быстрее, так как не нужно запоминать или записывать промежуточные результаты возведения в степень.
