Номер 974 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Используя треугольник Паскаля, напишите формулу для шестой степени двучлена $a + b$ . Проверьте результат, умножив на $a + b$ многочлен, равный $(a + b)^{5}$ .

Краткое решение

1) Формула шестой степени:

(a + b)^{6} = a^{6} + 6 a^{5} b + 15 a^{4} b^{2} + 20 a^{3} b^{3} + 15 a^{2} b^{4} + 6 a b^{5} + b^{6}

2) Проверка (умножение):

(a + b)^{5} \cdot (a + b) = (a^{5} + 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} + 10 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} + b^{5}) (a + b) =

= a^{6} + 5 a^{5} b + 10 a^{4} b^{2} + 10 a^{3} b^{3} + 5 a^{2} b^{4} + a b^{5} +

+ a^{5} b + 5 a^{4} b^{2} + 10 a^{3} b^{3} + 10 a^{2} b^{4} + 5 a b^{5} + b^{6} =

= a^{6} + 6 a^{5} b + 15 a^{4} b^{2} + 20 a^{3} b^{3} + 15 a^{2} b^{4} + 6 a b^{5} + b^{6}

Результаты совпали.

Подробное решение

📚 Коэффициенты бинома

При возведении $(a + b)$ в степень $n$ :

Коэффициенты слагаемых соответствуют числам $n$ -й строки треугольника Паскаля.
Степень первого множителя $a$ уменьшается от $n$ до 0.
Степень второго множителя $b$ увеличивается от 0 до $n$ .

Подробный разбор решения

Шаг 1: Составление формулы

Для степени $n = 6$ коэффициенты равны: $1, 6, 15, 20, 15, 6, 1$ . Записываем слагаемые, соблюдая правила изменения степеней:

$1 \cdot a^{6} + 6 \cdot a^{5} b^{1} + 15 \cdot a^{4} b^{2} + 20 \cdot a^{3} b^{3} + 15 \cdot a^{2} b^{4} + 6 \cdot a^{1} b^{5} + 1 \cdot b^{6}$

Шаг 2: Проверка умножением

Раскроем скобки, умножив каждый член пятой степени сначала на $a$ , затем на $b$ :

Умножаем на $a$ : $a^{6} + 5 a^{5} b + 10 a^{4} b^{2} + 10 a^{3} b^{3} + 5 a^{2} b^{4} + a b^{5}$ .
Умножаем на $b$ : $a^{5} b + 5 a^{4} b^{2} + 10 a^{3} b^{3} + 10 a^{2} b^{4} + 5 a b^{5} + b^{6}$ .
Складываем результаты и приводим подобные слагаемые. Например: $5 a^{5} b + a^{5} b = 6 a^{5} b$ , а $10 a^{4} b^{2} + 5 a^{4} b^{2} = 15 a^{4} b^{2}$ .

В итоге получаем в точности ту же формулу, что и по треугольнику Паскаля.