№948. Докажите, что для любых двух неколлинеарных векторов и справедливо неравенство .
Доказательство:
1) Отметим произвольную точку . Отложим от неё вектор , а из точки отложим вектор .
2) По правилу треугольника сумма этих векторов равна вектору :
3) Так как по условию векторы и не коллинеарны, точки и не лежат на одной прямой. Следовательно, они образуют треугольник .
4) Для любого треугольника выполняется неравенство треугольника: длина каждой стороны строго меньше суммы длин двух других сторон. Для стороны запишем:
5) Длины сторон треугольника равны модулям соответствующих векторов (). Подставив их в неравенство, получим:
Что и требовалось доказать.
