№953. Пусть и — произвольные точки. Докажите, что векторы
,
и
нулевые.
Доказательство:
Для доказательства воспользуемся правилами сложения и вычитания векторов, а также тем фактом, что вектор, начало и конец которого совпадают (например, ), является нулевым вектором .
1) Вектор
Переставим слагаемые местами так, чтобы конец каждого предыдущего вектора совпадал с началом следующего:
По правилу многоугольника сумма этих векторов равна вектору, соединяющему начальную точку первого вектора () с конечной точкой последнего ():
2) Вектор
По правилу вычитания векторов разность равна вектору :
Сумма противоположно направленных векторов дает нулевой вектор (также по правилу треугольника начало и конец совпадают в точке ):
3) Вектор
Заменим вычитание вектора в скобках на прибавление противоположного вектора :
По правилу треугольника сумма равна вектору :
Все три вектора оказались нулевыми. Что и требовалось доказать.
