Номер 1033 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Разложите на множители:

а) $a^2 - b^2 + 2(a + b)^2$ ;
б) $b^2 - c^2 - 10(b - c)^2$ ;

в) $2(x - y)^2 + 3x^2 - 3y^2$ ;
г) $5a^2 - 5 - 4(a + 1)^2$ .

Краткое решение

\text{а) } a^2 - b^2 + 2(a + b)^2 =

= (a - b)(a + b) + 2(a + b)(a + b) =

= (a + b)(a - b + 2(a + b)) =

= (a + b)(a - b + 2a + 2b) =

= (a + b)(3a + b);

\text{б) } b^2 - c^2 - 10(b - c)^2 =

= (b - c)(b + c) - 10(b - c)(b - c) =

= (b - c)(b + c - 10(b - c)) =

= (b - c)(b + c - 10b + 10c) =

= (b - c)(11c - 9b);

\text{в) } 2(x - y)^2 + 3x^2 - 3y^2 =

= 2(x - y)^2 + 3(x^2 - y^2) =

= 2(x - y)(x - y) + 3(x - y)(x + y) =

= (x - y)(2(x - y) + 3(x + y)) =

= (x - y)(2x - 2y + 3x + 3y) =

= (x - y)(5x + y);

\text{г) } 5a^2 - 5 - 4(a + 1)^2 =

= 5(a^2 - 1) - 4(a + 1)(a + 1) =

= 5(a - 1)(a + 1) - 4(a + 1)(a + 1) =

= (a + 1)(5(a - 1) - 4(a + 1)) =

= (a + 1)(5a - 5 - 4a - 4) =

= (a + 1)(a - 9).

Подробное решение

📚 Теория: Комбинированные способы разложения

Для решения этих примеров используется последовательность методов:
1. Разность квадратов: разложение части выражения по формуле $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$ .
2. Вынесение общего множителя: вынесение целого выражения (скобки) за скобки.
3. Упрощение: приведение подобных слагаемых внутри вторых скобок.

Разбор пункта а)

Сначала разложим разность квадратов $a^2 - b^2$ на произведение двух скобок.
Заметим, что в обоих слагаемых теперь есть общий множитель $(a + b)$ .
Вынесем этот множитель за скобки и раскроем внутренние скобки для упрощения.
После приведения подобных слагаемых $a + 2a$ и $-b + 2b$ получаем окончательный ответ.

Разбор пункта г)

В первой части выражения $5a^2 - 5$ вынесем общий множитель $5$ и применим разность квадратов.
Теперь вынесем за скобки общую скобку $(a + 1)$ .
Во второй скобке выполним умножение на коэффициенты и приведем подобные слагаемые.
Получаем произведение линейных множителей $(a + 1)(a - 9)$ .