Номер 1024 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Докажите, что число, равное разности $111111 - 222$ , является квадратом натурального числа.

Краткое решение

111111 - 222 = 110889

33 3^{2} = 110889

110889 = 33 3^{2}

Подробное решение

📚 Теория: Полный квадрат

Число является квадратом натурального числа, если его можно представить в виде $n^{2}$ , где $n \in N$ .

Способ 1: Прямое вычисление

1. Найдем разность заданных чисел:

111111 - 222 = 110889

2. Проверим, является ли это число квадратом. Для этого можно извлечь корень или выполнить разложение на множители. Заметим, что число оканчивается на $9$ , значит основание может оканчиваться на $3$ или $7$ . Проверим $333$ :

333 \cdot 333 = 110889

Следовательно, $110889 = 33 3^{2}$ .

Способ 2: Алгебраический (более изящный)

Представим числа через $111$ :

111111 - 222 = 111 \cdot 1001 - 111 \cdot 2 = 111 (1001 - 2) = 111 \cdot 999

Теперь разложим $999$ как $111 \cdot 9$ :

111 \cdot (111 \cdot 9) = 11 1^{2} \cdot 3^{2} = (111 \cdot 3)^{2} = 33 3^{2}

Так как $333$ — натуральное число, утверждение доказано.