Номер 1040 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Докажите тождество $(10n + 5)^2 = 100n(n + 1) + 25$ . Используя это тождество, сформулируйте правило возведения в квадрат натурального числа, оканчивающегося цифрой 5. Найдите по этому правилу $25^2$ , $45^2$ , $75^2$ , $115^2$ .

Краткое решение

1. (10n + 5)^2 = 100n(n + 1) + 25

(10n + 5)^2 =

= (10n)^2 + 2 \cdot 10n \cdot 5 + 5^2 =

= 100n^2 + 100n + 25 =

= 100n(n + 1) + 25.

Тождество доказано.

Правило: если число оканчивается на 5, его можно записать как $10n + 5$ . Тогда

(10n + 5)^2 = 100n(n + 1) + 25,

то есть нужно перемножить «предшествующую» часть $n$ и $n + 1$ , а затем дописать «25».

1) 25^2 = (10 \cdot 2 + 5)^2 =

= 100 \cdot 2 \cdot (2 + 1) + 25 =

= 200 \cdot 3 + 25 = 600 + 25 = 625;

2) 45^2 = (10 \cdot 4 + 5)^2 =

= 100 \cdot 4 \cdot (4 + 1) + 25 =

= 400 \cdot 5 + 25 = 2000 + 25 = 2025;

3) 75^2 = (10 \cdot 7 + 5)^2 =

= 100 \cdot 7 \cdot (7 + 1) + 25 =

= 700 \cdot 8 + 25 = 5600 + 25 = 5625;

4) 115^2 = (10 \cdot 11 + 5)^2 =

= 100 \cdot 11 \cdot (11 + 1) + 25 =

= 1100 \cdot 12 + 25 =

= 13200 + 25 = 13225.

Подробное решение

📚 Теория: Быстрый счет

Данное тождество обосновывает известный прием быстрого возведения в квадрат чисел, оканчивающихся на 5. Мы берем число десятков ( $n$ ), умножаем его на следующее за ним натуральное число ( $n + 1$ ) и к результату приписываем справа 25 (что эквивалентно прибавлению 25 к числу, умноженному на 100).

Доказательство тождества

1. Рассмотрим левую часть выражения и раскроем квадрат суммы:

(10n + 5)^2 = (10n)^2 + 2 \cdot 10n \cdot 5 + 5^2 = 100n^2 + 100n + 25

2. Сгруппируем первые два слагаемых и вынесем общий множитель $100n$ за скобки:

100n(n + 1) + 25

Полученное выражение совпадает с правой частью тождества.

Примеры вычислений

Для каждого числа определим $n$ (количество десятков) и применим формулу:

Для 25: $n = 2$ . Вычисляем $2 \cdot (2+1) = 6$ . Ответ: 625.
Для 45: $n = 4$ . Вычисляем $4 \cdot (4+1) = 20$ . Ответ: 2025.
Для 75: $n = 7$ . Вычисляем $7 \cdot (7+1) = 56$ . Ответ: 5625.
Для 115: $n = 11$ . Вычисляем $11 \cdot (11+1) = 132$ . Ответ: 13225.