Главная / 7 класс / Алгебра Макарычев / Номер 1200

Номер 1200 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Найдите все натуральные значения aa, при которых корень уравнения (a−1)x=12(a - 1)x = 12 является натуральным числом.

Краткое решение

(a−1)x=12(a - 1)x = 12
x=12a−1x = \frac{12}{a - 1}
Если a=1, то x=121−1=120 — не существует.\text{Если } a = 1, \text{ то } x = \frac{12}{1 - 1} = \frac{12}{0} \text{ --- не существует.}
Если a=2, то x=122−1=121=12 — натуральное.\text{Если } a = 2, \text{ то } x = \frac{12}{2 - 1} = \frac{12}{1} = 12 \text{ --- натуральное.}
Если a=3, то x=123−1=122=6 — натуральное.\text{Если } a = 3, \text{ то } x = \frac{12}{3 - 1} = \frac{12}{2} = 6 \text{ --- натуральное.}
Если a=4, то x=124−1=123=4 — натуральное.\text{Если } a = 4, \text{ то } x = \frac{12}{4 - 1} = \frac{12}{3} = 4 \text{ --- натуральное.}
Если a=5, то x=125−1=124=3 — натуральное.\text{Если } a = 5, \text{ то } x = \frac{12}{5 - 1} = \frac{12}{4} = 3 \text{ --- натуральное.}
Если a=6, то x=126−1=125=225 — не является натуральным.\text{Если } a = 6, \text{ то } x = \frac{12}{6 - 1} = \frac{12}{5} = 2\frac{2}{5} \text{ --- не является натуральным.}
Если a=7, то x=127−1=126=2 — натуральное.\text{Если } a = 7, \text{ то } x = \frac{12}{7 - 1} = \frac{12}{6} = 2 \text{ --- натуральное.}
Если a=8, то x=128−1=127=157 — не является натуральным.\text{Если } a = 8, \text{ то } x = \frac{12}{8 - 1} = \frac{12}{7} = 1\frac{5}{7} \text{ --- не является натуральным.}
Если a=9, то x=129−1=128=148 — не является натуральным.\text{Если } a = 9, \text{ то } x = \frac{12}{9 - 1} = \frac{12}{8} = 1\frac{4}{8} \text{ --- не является натуральным.}
Если a=13, то x=1213−1=1212=1 — натуральное.\text{Если } a = 13, \text{ то } x = \frac{12}{13 - 1} = \frac{12}{12} = 1 \text{ --- натуральное.}
Если a>13, то x=12a−1 — правильная дробь.\text{Если } a > 13, \text{ то } x = \frac{12}{a - 1} \text{ --- правильная дробь.}
Ответ:a=2,3,4,5,7,13.\mathbf{Ответ: } a = 2, 3, 4, 5, 7, 13.

Подробное решение

📚 Теория: Натуральные числа и делители

Натуральные числа (N\mathbf{N}) — это целые положительные числа: 1,2,3,...1, 2, 3, .... Чтобы корень уравнения x=12a−1x = \frac{12}{a - 1} был натуральным числом, знаменатель a−1a - 1 должен быть натуральным делителем числа 1212.

Решим уравнение относительно xx:

x=12a−1x = \frac{12}{a - 1}

Для того чтобы значение xx было натуральным числом, необходимо, чтобы число 1212 делилось нацело на выражение a−1a - 1. Выпишем все натуральные делители числа 1212:

1,2,3,4,6,121, 2, 3, 4, 6, 12

Теперь поочередно приравняем знаменатель a−1a - 1 к каждому из этих делителей и найдем значения aa:

  • a−1=1⇒a=2a - 1 = 1 \Rightarrow a = 2 (натуральное)
  • a−1=2⇒a=3a - 1 = 2 \Rightarrow a = 3 (натуральное)
  • a−1=3⇒a=4a - 1 = 3 \Rightarrow a = 4 (натуральное)
  • a−1=4⇒a=5a - 1 = 4 \Rightarrow a = 5 (натуральное)
  • a−1=6⇒a=7a - 1 = 6 \Rightarrow a = 7 (натуральное)
  • a−1=12⇒a=13a - 1 = 12 \Rightarrow a = 13 (натуральное)

Ответ: 2,3,4,5,7,132, 3, 4, 5, 7, 13.

💡 Похожие задачи

← Вернуться к содержанию
Загрузка комментариев...