Номер 1221 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Краткое решение

Пусть $a = 10^{10}$ . Тогда:

1) Первая дробь:

\frac{10^{10} + 1}{10^{11} + 1} = \frac{10^{10} + 1}{10 \cdot 10^{10} + 1} = \frac{a + 1}{10a + 1}

Приведем к знаменателю второй дроби, умножив на $100a + 1$ :

\frac{(a + 1)(100a + 1)}{(10a + 1)(100a + 1)} = \frac{100a^2 + a + 100a + 1}{(10a + 1)(100a + 1)} = \frac{100a^2 + 101a + 1}{(10a + 1)(100a + 1)}

2) Вторая дробь:

\frac{10^{11} + 1}{10^{12} + 1} = \frac{10 \cdot 10^{10} + 1}{10^2 \cdot 10^{10} + 1} = \frac{10a + 1}{100a + 1}

Приведем к общему знаменателю, умножив на $10a + 1$ :

\frac{(10a + 1)(10a + 1)}{(100a + 1)(10a + 1)} = \frac{(10a + 1)^2}{(10a + 1)(100a + 1)} = \frac{100a^2 + 20a + 1}{(10a + 1)(100a + 1)}

3) Сравним числители:

100a^2 + 101a + 1 > 100a^2 + 20a + 1

Следовательно:

\frac{10^{10} + 1}{10^{11} + 1} > \frac{10^{11} + 1}{10^{12} + 1}

Ответ: первая дробь больше.

Подробное решение

📚 Теория: Сравнение сложных дробей

Для сравнения дробей с большими степенями удобно использовать метод замены переменной. Это позволяет перейти от огромных чисел к алгебраическим выражениям, которые легче привести к общему знаменателю и сравнить.

Для сравнения этих выражений введем вспомогательную переменную $a = 10^{10}$ .

1. Преобразование дробей

Выразим обе дроби через $a$ :

Первая дробь: $\frac{a+1}{10a+1}$ .
Вторая дробь: $\frac{10a+1}{100a+1}$ (так как $10^{12} = 10^2 \cdot 10^{10}$ ).

2. Приведение к общему знаменателю

Чтобы сравнить дроби, умножим числитель первой на знаменатель второй, и наоборот:

Для первой: $(a+1)(100a+1) = 100a^2 + 101a + 1$ .
Для второй: $(10a+1)(10a+1) = 100a^2 + 20a + 1$ .

3. Сравнение результатов

Сравнивая полученные многочлены, видим, что при положительном $a$ первое выражение всегда больше второго за счет коэффициента при $a$ ( $101 > 20$ ).

Вывод: значение первой дроби больше.

💡 Похожие задачи

Номер 1219