Главная / 7 класс / Алгебра Макарычев / Номер 1234

Номер 1234 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

При каких значениях a,b,ca, b, c и dd является тождеством равенство

5x3−32x2+75x−71=a(x−2)3+b(x−2)2+c(x−2)+d?5x^3 - 32x^2 + 75x - 71 = a(x - 2)^3 + b(x - 2)^2 + c(x - 2) + d?

Краткое решение

Раскроем скобки в правой части выражения:

a(x3−6x2+12x−8)+b(x2−4x+4)+cx−2c+d=a(x^3 - 6x^2 + 12x - 8) + b(x^2 - 4x + 4) + cx - 2c + d =
=ax3−6ax2+12ax−8a+bx2−4bx+4b+cx−2c+d== ax^3 - 6ax^2 + 12ax - 8a + bx^2 - 4bx + 4b + cx - 2c + d =
=ax3+(−6a+b)x2+(12a−4b+c)x+(−8a+4b−2c+d)= ax^3 + (-6a + b)x^2 + (12a - 4b + c)x + (-8a + 4b - 2c + d)

Приравняем коэффициенты при соответствующих степенях xx:

  1. a=5a = 5
  2. −6a+b=−32⇒−6⋅5+b=−32⇒b=−2-6a + b = -32 \Rightarrow -6 \cdot 5 + b = -32 \Rightarrow b = -2
  3. 12a−4b+c=75⇒12⋅5−4⋅(−2)+c=75⇒c=712a - 4b + c = 75 \Rightarrow 12 \cdot 5 - 4 \cdot (-2) + c = 75 \Rightarrow c = 7
  4. −8a+4b−2c+d=−71⇒−40−8−14+d=−71⇒d=−9-8a + 4b - 2c + d = -71 \Rightarrow -40 - 8 - 14 + d = -71 \Rightarrow d = -9

Ответ: a = 5, b = -2, c = 7, d = -9.

Подробное решение

📚 Теория: Метод неопределенных коэффициентов

Для нахождения параметров тождества можно раскрыть все скобки и привести подобные слагаемые. Два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при одинаковых степенях переменной.

Для нахождения коэффициентов a,b,c,da, b, c, d воспользуемся методом раскрытия скобок и последующим сравнением коэффициентов при степенях переменной xx.

1. Преобразование правой части

Применим формулы сокращенного умножения для куба и квадрата разности:

a(x3−3⋅x2⋅2+3⋅x⋅4−8)+b(x2−4x+4)+c(x−2)+da(x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 4 - 8) + b(x^2 - 4x + 4) + c(x - 2) + d

Раскроем все скобки:

ax3−6ax2+12ax−8a+bx2−4bx+4b+cx−2c+dax^3 - 6ax^2 + 12ax - 8a + bx^2 - 4bx + 4b + cx - 2c + d

2. Группировка по степеням x

Соберем коэффициенты при x3,x2,x1x^3, x^2, x^1 и свободный член:

ax3+(−6a+b)x2+(12a−4b+c)x+(−8a+4b−2c+d)ax^3 + (-6a + b)x^2 + (12a - 4b + c)x + (-8a + 4b - 2c + d)

3. Составление и решение системы

Сравним с коэффициентами исходного многочлена 5x3−32x2+75x−715x^3 - 32x^2 + 75x - 71:

  • При x3x^3: a=5a = 5.
  • При x2x^2: −6a+b=−32⇒−30+b=−32⇒b=−2-6a + b = -32 \Rightarrow -30 + b = -32 \Rightarrow b = -2.
  • При xx: 12a−4b+c=75⇒60+8+c=75⇒c=712a - 4b + c = 75 \Rightarrow 60 + 8 + c = 75 \Rightarrow c = 7.
  • Свободный член: −8a+4b−2c+d=−71⇒−40−8−14+d=−71⇒d=−9-8a + 4b - 2c + d = -71 \Rightarrow -40 - 8 - 14 + d = -71 \Rightarrow d = -9.

Таким образом, мы нашли все искомые коэффициенты.

💡 Похожие задачи

← Вернуться к содержанию
Загрузка комментариев...