Номер 559 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Сравните значения выражений:

а) $10^7 \text{ и } 2^8 \cdot 5^7;$

в) $25^{25} \text{ и } 2^{50} \cdot 3^{50};$

б) $6^{12} \text{ и } 2^{13} \cdot 3^{11};$

г) $63^{30} \text{ и } 3^{60} \cdot 5^{30}.$

Краткое решение

а) $10^7 < 2^8 \cdot 5^7$

2^8 \cdot 5^7 = 2 \cdot 2^7 \cdot 5^7 = 2 \cdot (2 \cdot 5)^7 = 2 \cdot 10^7;

10^7 < 2 \cdot 10^7.

б) $6^{12} > 2^{13} \cdot 3^{11}$

2^{13} \cdot 3^{11} = 2^2 \cdot 2^{11} \cdot 3^{11} = 4 \cdot (2 \cdot 3)^{11} = 4 \cdot 6^{11};

6^{12} = 6 \cdot 6^{11};

6 \cdot 6^{11} > 4 \cdot 6^{11}.

в) $25^{25} < 2^{50} \cdot 3^{50}$

2^{50} \cdot 3^{50} = (2 \cdot 3)^{50} = 6^{50};

25^{25} = (5^2)^{25} = 5^{50};

5^{50} < 6^{50}.

г) $63^{30} > 3^{60} \cdot 5^{30}$

3^{60} \cdot 5^{30} = 3^{30} \cdot 3^{30} \cdot 5^{30} = 3^{30} \cdot (3 \cdot 5)^{30} = 3^{30} \cdot 15^{30} = (3 \cdot 15)^{30} = 45^{30};

63^{30} > 45^{30}.

Для сравнения выражений со степенями необходимо привести их либо к одинаковым основаниям, либо к одинаковым показателям:

Выполним преобразования для сравнения выражений:

Пункт а)

10^7 = (2 \cdot 5)^7 = 2^7 \cdot 5^7

Сравним $2^7 \cdot 5^7$ и $2^8 \cdot 5^7$ . Так как $2^7 < 2^8$ , то:

10^7 < 2^8 \cdot 5^7

Пункт б)

6^{12} = (2 \cdot 3)^{12} = 2^{12} \cdot 3^{12} = 3 \cdot (2^{12} \cdot 3^{11})

2^{13} \cdot 3^{11} = 2 \cdot (2^{12} \cdot 3^{11})

Поскольку $3 > 2$ , первое выражение больше.

Пункт в)

25^{25} = (5^2)^{25} = 5^{50}

2^{50} \cdot 3^{50} = (2 \cdot 3)^{50} = 6^{50}

Так как $5 < 6$ , то $5^{50} < 6^{50}$ .

Пункт г)

3^{60} \cdot 5^{30} = (3^2)^{30} \cdot 5^{30} = 9^{30} \cdot 5^{30} = (9 \cdot 5)^{30} = 45^{30}

Сравниваем $63^{30}$ и $45^{30}$ . Очевидно, что $63^{30} > 45^{30}$ .