Номер 559 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Сравните значения выражений:

а) $1 0^{7} и 2^{8} \cdot 5^{7};$

в) $2 5^{25} и 2^{50} \cdot 3^{50};$

б) $6^{12} и 2^{13} \cdot 3^{11};$

г) $6 3^{30} и 3^{60} \cdot 5^{30} .$

Краткое решение

а) $1 0^{7} < 2^{8} \cdot 5^{7}$

2^{8} \cdot 5^{7} = 2 \cdot 2^{7} \cdot 5^{7} = 2 \cdot (2 \cdot 5)^{7} = 2 \cdot 1 0^{7};

1 0^{7} < 2 \cdot 1 0^{7} .

б) $6^{12} > 2^{13} \cdot 3^{11}$

2^{13} \cdot 3^{11} = 2^{2} \cdot 2^{11} \cdot 3^{11} = 4 \cdot (2 \cdot 3)^{11} = 4 \cdot 6^{11};

6^{12} = 6 \cdot 6^{11};

6 \cdot 6^{11} > 4 \cdot 6^{11} .

в) $2 5^{25} < 2^{50} \cdot 3^{50}$

2^{50} \cdot 3^{50} = (2 \cdot 3)^{50} = 6^{50};

2 5^{25} = (5^{2})^{25} = 5^{50};

5^{50} < 6^{50} .

г) $6 3^{30} > 3^{60} \cdot 5^{30}$

3^{60} \cdot 5^{30} = 3^{30} \cdot 3^{30} \cdot 5^{30} = 3^{30} \cdot (3 \cdot 5)^{30} = 3^{30} \cdot 1 5^{30} = (3 \cdot 15)^{30} = 4 5^{30};

6 3^{30} > 4 5^{30} .

Для сравнения выражений со степенями необходимо привести их либо к одинаковым основаниям, либо к одинаковым показателям:

Выполним преобразования для сравнения выражений:

Пункт а)

1 0^{7} = (2 \cdot 5)^{7} = 2^{7} \cdot 5^{7}

Сравним $2^{7} \cdot 5^{7}$ и $2^{8} \cdot 5^{7}$ . Так как $2^{7} < 2^{8}$ , то:

1 0^{7} < 2^{8} \cdot 5^{7}

Пункт б)

6^{12} = (2 \cdot 3)^{12} = 2^{12} \cdot 3^{12} = 3 \cdot (2^{12} \cdot 3^{11})

2^{13} \cdot 3^{11} = 2 \cdot (2^{12} \cdot 3^{11})

Поскольку $3 > 2$ , первое выражение больше.

Пункт в)

2 5^{25} = (5^{2})^{25} = 5^{50}

2^{50} \cdot 3^{50} = (2 \cdot 3)^{50} = 6^{50}

Так как $5 < 6$ , то $5^{50} < 6^{50}$ .

Пункт г)

3^{60} \cdot 5^{30} = (3^{2})^{30} \cdot 5^{30} = 9^{30} \cdot 5^{30} = (9 \cdot 5)^{30} = 4 5^{30}

Сравниваем $6 3^{30}$ и $4 5^{30}$ . Очевидно, что $6 3^{30} > 4 5^{30}$ .