Докажите, что при любом значении x:
а) значение выражения (x−3)(x+7)−(x+5)(x−1) равно −16;
б) значение выражения x4−(x2−7)(x2+7) равно 49.
Краткое решение
а) (x−3)(x+7)−(x+5)(x−1)=
=(x2+7x−3x−21)−(x2−x+5x−5)= =x2+4x−21−x2−4x+5=−16. Доказано.
б) x4−(x2−7)(x2+7)=
=x4−(x4+7x2−7x2−49)= =x4−x4+49=49. Доказано.
Подробное решение
📚 Теория: Независимость от переменной
Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменной, нужно упростить это выражение (раскрыть скобки и привести подобные слагаемые). Если после упрощения все переменные взаимно уничтожаются, а в результате остается только число, то утверждение доказано.
Проведем подробное доказательство для каждого пункта:
Разбор пункта а)
- Раскрываем первые скобки: x2+7x−3x−21=x2+4x−21.
- Раскрываем вторые скобки: x2−x+5x−5=x2+4x−5.
- Вычитаем второй многочлен из первого, меняя знаки: x2+4x−21−x2−4x+5.
- Все члены с x уничтожаются, остается −21+5=−16. Значение постоянно.
Разбор пункта б)
Перемножаем скобки во втором слагаемом:
(x2−7)(x2+7)=x4+7x2−7x2−49=x4−49. Вычитаем полученное произведение из x4:
x4−(x4−49)=x4−x4+49=49. Результат всегда равен 49 вне зависимости от того, какое число подставлено вместо x.
