Главная / 7 класс / Алгебра Макарычев / Номер 706

Номер 706 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Докажите, что при любом значении xx:

а) значение выражения (x−3)(x+7)−(x+5)(x−1)(x - 3)(x + 7) - (x + 5)(x - 1) равно −16-16;

б) значение выражения x4−(x2−7)(x2+7)x^4 - (x^2 - 7)(x^2 + 7) равно 4949.

Краткое решение

а) (x−3)(x+7)−(x+5)(x−1)=(x - 3)(x + 7) - (x + 5)(x - 1) =

=(x2+7x−3x−21)−(x2−x+5x−5)== (x^2 + 7x - 3x - 21) - (x^2 - x + 5x - 5) =
=x2+4x−21−x2−4x+5=−16.= x^2 + 4x - 21 - x^2 - 4x + 5 = -16.

Доказано.

б) x4−(x2−7)(x2+7)=x^4 - (x^2 - 7)(x^2 + 7) =

=x4−(x4+7x2−7x2−49)== x^4 - (x^4 + 7x^2 - 7x^2 - 49) =
=x4−x4+49=49.= x^4 - x^4 + 49 = 49.

Доказано.

Подробное решение

📚 Теория: Независимость от переменной

Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменной, нужно упростить это выражение (раскрыть скобки и привести подобные слагаемые). Если после упрощения все переменные взаимно уничтожаются, а в результате остается только число, то утверждение доказано.

Проведем подробное доказательство для каждого пункта:

Разбор пункта а)

  1. Раскрываем первые скобки: x2+7x−3x−21=x2+4x−21x^2 + 7x - 3x - 21 = x^2 + 4x - 21.
  2. Раскрываем вторые скобки: x2−x+5x−5=x2+4x−5x^2 - x + 5x - 5 = x^2 + 4x - 5.
  3. Вычитаем второй многочлен из первого, меняя знаки: x2+4x−21−x2−4x+5x^2 + 4x - 21 - x^2 - 4x + 5.
  4. Все члены с xx уничтожаются, остается −21+5=−16-21 + 5 = -16. Значение постоянно.

Разбор пункта б)

Перемножаем скобки во втором слагаемом:

(x2−7)(x2+7)=x4+7x2−7x2−49=x4−49.(x^2 - 7)(x^2 + 7) = x^4 + 7x^2 - 7x^2 - 49 = x^4 - 49.

Вычитаем полученное произведение из x4x^4:

x4−(x4−49)=x4−x4+49=49.x^4 - (x^4 - 49) = x^4 - x^4 + 49 = 49.

Результат всегда равен 49 вне зависимости от того, какое число подставлено вместо xx.

💡 Похожие задачи

← Вернуться к содержанию
Загрузка комментариев...