Номер 712 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Пусть $a, b, c$ и $d$ — четыре последовательных нечётных числа. Докажите, что разность $cd - ab$ кратна $16$ .

Краткое решение

Обозначим последовательные нечётные числа:

$a = n, \quad b = n + 2, \quad c = n + 4, \quad d = n + 6$ , где $n$ — нечётное число.

Составим разность:

cd - ab = (n + 4)(n + 6) - n(n + 2) =

= n^2 + 6n + 4n + 24 - (n^2 + 2n) =

= n^2 + 10n + 24 - n^2 - 2n = 8n + 24 = 8(n + 3).

Так как $n$ нечётное, то $(n + 3)$ — число чётное (его можно представить как $2k$ ).

8 \cdot 2k = 16k \quad (\text{кратно } 16).

Доказано.

Подробное решение

📚 Теория: Свойства нечетных чисел

1. Каждое следующее нечётное число больше предыдущего на 2.
2. Сумма (или разность) двух нечётных чисел всегда является чётным числом.
3. Чётное число всегда можно записать в виде $2k$ , где $k$ — целое число.

Проведем подробное алгебраическое доказательство:

1. Математическая модель

Любые четыре последовательных нечётных числа можно представить как $x, x+2, x+4$ и $x+6$ . По условию это $a, b, c$ и $d$ соответственно.

2. Преобразование выражения

Найдем разность произведений:

cd - ab = (x + 4)(x + 6) - x(x + 2)

Раскрываем скобки:

x^2 + 6x + 4x + 24 - x^2 - 2x = 8x + 24

Выносим общий множитель 8:

8(x + 3)

3. Анализ результата

Поскольку $x$ — число нечётное, то прибавляя к нему 3 (тоже нечётное), мы гарантированно получаем чётное число. Чётное число делится на 2.
Таким образом, выражение $8 \cdot (\text{чётное число})$ обязательно делится на $8 \cdot 2 = 16$ .